证明: 实方阵的每个奇异值都是特征值的充分必要条件是 [tex=2.929x1.143]cwmpq7ErlSNyLdR3jcYv7w==[/tex]
证明 设 [tex=4.286x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4OseyQEc7Z5G/dNnwnOA5V9zl2GL98E+502LV6P1Rc3sKBl[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全体特征值. 根据 Schur 不等式,[p=align:center][tex=13.0x3.071]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr836+rCUdkTGvcPsSvGwpRmqYF+pKCMVfFvbKOIi2pAxoHp+EICMAsRpzT+g9hPokiYTqxul7R0vfg3WV4+nsUMc4aNYWQOshnV6MBNRDhG/KyE6dCVWUr6D3Fgh/Tn1DQy2wFgADvEODyuydO67CssvMWYxATGKWt9SwvQS5AAPJU[/tex]等号成立的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是规范方阵. [tex=9.214x1.571]ApBtKiFHAOgbksEzlkUgQadTOYTs2jTHdeSHFukWnaOG2O0ai+EzktO5H9xafhbxVssemv1HIox8tqH6Nx5Y43I5udii1kz+8Ve3k/8oK2U=[/tex] 等于 [tex=2.0x1.214]dH+6mcnQkCGsI4eUwNRa1w==[/tex] 的各非令特征值 [tex=1.0x1.5]MDs5euj63Kwj9HqqhbQ4gQ==[/tex] 之和，其中各 [tex=7.429x1.357]DpNOmJf5C01hEIdjhoYO3xCIvUqhdezH9o7ijCsQHtY=[/tex]就是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全部奇异值. 如果 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的奇异值 [tex=4.357x1.0]VIIH6HbtytlFNNfGOg2wZmE2XTIpQd2sO1LV9WRWM9I=[/tex] 都是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值，不妨假定它们是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的前[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 个特征值 [tex=4.571x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4OseyQEc7Z5G/dNnwnOA5V9zl3eBxxK480mLF0OAVk463NQ[/tex] 则由 Schur 不等式得[p=align:center][tex=28.5x3.143]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr834UQ56YzVOglLwndyasDMS9S7YqSyXKqDVy2sBZUSfcLiR78U8PkfLOi5bXoIaQAyoMEeOhTyIxkfIwh5ZTRdM2oJ/eUEienGduVbqAfvX8i6wMRJhcvArdsldaDFfd8yZdZTNENF9xpxp2xOL6FTXSPv67p93iJtUMkULCi4C/FE8eGfYPcGh4l8IXCmN/rfMot+rq8imN+5pMgvAzPtGoF/sC0K4M3YHVw2s5SRJbSzPP38enhO0n/J5lA63K0aiQMWuV94rF9U5PQQrPsFoucqg5X7NoecTeog7zrRcbUktusVaI2Xt6tn6/uk+w93Q==[/tex]这迫使 [tex=2.5x1.0]3avw3NaTGWBT2BNR8Q72+N04UMtDpaXxa9s40mtNmkg=[/tex] 不等式中的等号成立，且 [tex=5.429x2.929]tV/OV1WqZ16V4p+k3xFDbGfLvT0NNew0zl8/HLTqaX1vn/HLm3d59XAFJbexG9ZE[/tex] [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是规范阵且全体俞旦值 [tex=4.286x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4OseyQEc7Z5G/dNnwnOA5V9zl2GL98E+502LV6P1Rc3sKBl[/tex] 就 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全部非零特征值， [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全部特征值 [tex=8.214x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4OseyQEc7Z5G/dNnwnOA5V9zl09X/sDft2cZBWCkfi67qwwufetLl6RfFZXLGNcxFuuqg==[/tex] 全部是非负实数. 存在正交方阵 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex] 将 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于标准形 [tex=25.571x1.5]wKnLITx0/puO01e7dfYdg6Rh+CXerMdDnUuwq8Qiw5nCmVQWOstztfva2cDFM4/+P/zNkkMzxPFDBeRi64SMKdpgb47nRUH2jCRFxkhJCkRrkH+uVDCf6keVK6AndMzrhlsrs3ZXbFZffmP2/oNe9WAfqHtrwiTxAVErHbSv/1g=[/tex]相合于半正定对角阵 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex], 因而 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定对称方阵.反过来, 设实方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定对称方阵, 则存在正交方阵 $U$ 将 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于对角阵[tex=20.143x1.5]YefLpP6C/fRemtlw7dwDQG/U3DL44s51FVMua/4Z1wAb6EL1jc74CTk0iAVy3J/3ZIHs6r0SVMZLxc/W5H+KPXymV5iw4s9bvcD2SwIZqMSVoiSq3FxhRKCaGJ4UBT7Rm0Q1cpw8lzFaWv7af6GbVg==[/tex], 其中 [tex=7.643x1.214]Cp0xlV/w7zdGbw2RM/RHJOX9pkGg3XRiP04JGg3Z2fplO2UqNJSDITjL7By56qvR[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的非零特征值.[p=align:center][tex=29.714x1.571]sv04QY1tTR1cZhVjSPzoZdf1EVc1zkVz23RinhQ2/xf+S1w/+HnNgKWCvjG5KFCCulwbYCkq4tYb3GL93ym41C5Vtw1fTXLF45qWcfixVSh00wJa2xZPa1U/57Bg1EnARbZ75hetVjhD0oPPLEMhYaTqvFR79+jb2Z/vGTRnb25ra/wA0UAU1rT9/FQWTcFXgSK1rWZN9TzvkSrgXDpTclptyvZGkOosf6k8jt9BVRszTmOhtL2Y9GnTwXLzuaj0[/tex]与 [tex=2.0x1.214]dH+6mcnQkCGsI4eUwNRa1w==[/tex] 相似的对角阵 [tex=2.143x1.214]yAvOKhpBUTBGO4YNzsRe0Q==[/tex] 的非令对角元 [tex=4.429x1.5]GkTpGO9UkqA9iETkXm3XDfyabEzTOAo5uHR+uX5lqSZLJAWz7EbkEDssxTMh2KMm[/tex] 就是 [tex=2.0x1.214]dH+6mcnQkCGsI4eUwNRa1w==[/tex] 的全部非零特征值，它们的算术平方根 [tex=4.286x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4OseyQEc7Z5G/dNnwnOA5V9zl2GL98E+502LV6P1Rc3sKBl[/tex] 就是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全体奇异值，正好是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的全部非零特征值.
举一反三
- 证明：三次实系数方程[tex=7.5x1.357]M0KzsqQPrlr25YikypjmiOiagkapFgcPOJBh4zWvEJk=[/tex]的每个根的实部都是负数的充分必要条件为[tex=11.571x1.214]ecu8Ns4s/syIsiUQHYIipI6Yc0xAkSJ5PQumzDuBORU=[/tex]。
- n阶方阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]有n个互异的特征值是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]能与对角矩阵相似的 A: 充分必要条件 B: 充分而非必要条件 C: 必要而非充分条件 D: 既非充分也非必要条件
- 称复方阵[tex=1.143x1.214]pAu3mOdEqTBq1BvmvJWwgQ==[/tex]，[tex=1.143x1.214]B3TQaIPY8RIBZ9FX3HbPWg==[/tex]实正交相抵，如果存在实正交方阵[tex=1.143x1.214]93GOO+rxKA3rzIWbup82BQ==[/tex]，[tex=1.143x1.214]IIxQc5gzGamVUK3ImIr/3A==[/tex]使得[tex=5.286x1.214]WmHm5xXtSqHRk4FVCZ+3IhNpEkZRy9EJ4lbCUFmb2PaXCYdsX18dLXkUSg9uKf4u6lcF4rqRpxUFOb7WQROfDA==[/tex]。称复方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为复正交方阵，如果[tex=5.929x1.214]U2MVLWuk6aHn6NBqDZ/oh5SjkLO3TyQHX0H6Bj9i+Ww=[/tex] 。证明：复正交方阵的实部的奇异值是复正交方阵正交相抵下的全系不变量。
- 证明：[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是半正定的充分必要条件为它的特征值全非负.
- 证明 [tex=10.786x1.5]DgiTp2BzHSz0hdgYPbR44t6t5HrtCGd/nOGT2VdCgBI=[/tex]（[tex=2.286x1.214]/Uu9jgxB4g+DifSL38NMLQ==[/tex] 为实数）的三个根的实部都是负数的充分必要条件是 [tex=10.286x1.214]P7P+Tzkvwa9Kd6HH8B8gaE5kbxWC7KZ2JTiC09SaKwE=[/tex]
内容
- 0
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为实对称矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定 (半正定) 的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全大于 (大于等于)零.
- 1
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]和[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为同维非奇异方阵,试证明[tex=1.571x1.0]JLMbVw4e37VvhkU494+8Ew==[/tex]和[tex=1.571x1.0]CXAfKGuWUtI+Dzsv5Km60Q==[/tex]具有相同的特征值集.
- 2
适合[tex=3.5x1.357]Voxnb+buNwD+AFe4K8onqg==[/tex]的方阵称为斜对称的，证明：斜对称方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的乘积[tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex]为斜对称方阵的充分必要条件是[tex=4.643x1.143]h826KvXT4rsAWBkxfMI1aA==[/tex]。
- 3
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 不可逆。求证: [tex=7.143x1.214]uqh+oOvD2P9iqZ7dD7XO1Au5GpPM3U/ETOAOUQD4vNF4TcsloBegfOt2bqW/yGxq+aenOAADeTB3DPpM/Xr5Dg==[/tex] 的充分必要条件是，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的属于特征值 0 的初等因子都是一次的.
- 4
设A, B都是[tex=2.714x1.071]319e/AVA5VexfWBQXpJ9ug==[/tex]矩阵,证明A~B的充分必要条件是[tex=5.643x1.357]SckQ0Wk1HqsZFefj450OCg==[/tex]