定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0当x>0,f(x)>1且对于任意的a,b∈R有,f(a+b)=f(a)f(b),(1)证明:f(0)=1.(2)证明:对于任意的x∈R,恒有f(x)>0.
证明:(1)因为f(a+b)=f(a)f(b),令式中a=b=0得:f(0)=f(0)f(0),因f(0)≠0,所以等式两同时消去f(0),得:f(0)=1.(2)令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x2,于是f(x)=f(0.5x)f(0.5x)=(f(0.5x))2≥0.因为f(0)≠0,所以对于任意的x∈R,恒有f(x)>0.
举一反三
- 已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明:
- 已知定义在R上的函数f(x)对一切x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(2)=-4.
- 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,f(x)≤.
- 如果一个函数f(x)满足(1)定义域为R;(2)任意x1,x2∈R,若x1+x2=0,则f(x1)+f(x2)=0;(3)任意x∈R,若t>0,f(x+t)>f(x).则f(x)可以是( ) A: y=-x B: y=3x C: y=x3 D: y=log3x
- 设对任意x恒有f(x+1)=f2(x),且f(0)=f’(0)=1,求f’(1).
内容
- 0
设函数F(x)=f(x)ex是定义在R上的函数,其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则( ) A: f(2)>e2f(0),f(2012)>e2012f(0) B: f(2)<e2f(0),f(2012)<e2012f(0) C: f(2)>e2f(0),f(2012)<e2012f(0) D: f(2)<e2f(0),f(2012)>e2012f(0)
- 1
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f"(0)=f(1)=f"(1)=0.证明:方程f"(x)=f(x)=0在(0,1)内有根.
- 2
定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:对于任意x,y∈R+,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.若对于x>1时,恒有f(x)>0.
- 3
已知定义域为R的函数f(x)满足:对任意实数a,b有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(x)>0,若f(1)=,则f(-2)等于[ ]
- 4
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(X)=x2-2x-3,则f(0)=( 0 ),当x<0时,f(x)=______.