若 [tex=6.143x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1zgoTIyAcwxWKtiaifeaK6v/QPMV5qygeAzx4pQe6ezx[/tex] 收敛,则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=3.143x1.357]CdubQWRJckDmyCov5zBDZw==[/tex] 上平方可积(类似可定义无界函数在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上平方可积的概念).(1) 对两种反常积分分别探讨 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 平方可积与 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的反常积分收敛之间的关系;(2) 对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;(3) 对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.

2022-06-12

若 [tex=6.143x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1zgoTIyAcwxWKtiaifeaK6v/QPMV5qygeAzx4pQe6ezx[/tex] 收敛,则称 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=3.143x1.357]CdubQWRJckDmyCov5zBDZw==[/tex] 上平方可积(类似可定义无界函数在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上平方可积的概念).(1) 对两种反常积分分别探讨 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 平方可积与 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的反常积分收敛之间的关系;(2) 对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;(3) 对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.

答案：

(1) [tex=5.643x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1wjK8K5G7QMGUldyyHXtY4g=[/tex] 收敛不能保证 [tex=6.143x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1zgoTIyAcwxWKtiaifeaK6v/QPMV5qygeAzx4pQe6ezx[/tex] 收敛,例如 : [tex=5.0x2.643]96riZFIzeViq7qT/tod4SV7B1np6GVaxMI78jMDjTkU=[/tex], 则 [tex=5.643x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUtvOF8lbXokIjFbGMM1HI7g=[/tex] 收敛,但 [tex=6.143x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUg4WX6eKFzyAO9Ex8dKMJ17/Q9FJWLfLC1UdoGw7+MTP[/tex] 发散;[tex=6.143x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1zgoTIyAcwxWKtiaifeaK6v/QPMV5qygeAzx4pQe6ezx[/tex] 收敛不能保证 [tex=5.643x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1wjK8K5G7QMGUldyyHXtY4g=[/tex] 收敛,例如: [tex=3.643x2.357]/rfaeC7rixaiOc8a8ohq6gmbGMplYzQ6WfohaP+bxFU=[/tex], 则 [tex=6.143x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUg4WX6eKFzyAO9Ex8dKMJ17/Q9FJWLfLC1UdoGw7+MTP[/tex] 收敛, 但 [tex=5.643x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUtvOF8lbXokIjFbGMM1HI7g=[/tex] 发散.(2) [tex=6.143x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1zgoTIyAcwxWKtiaifeaK6v/QPMV5qygeAzx4pQe6ezx[/tex] 收敛不能保证 [tex=5.643x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUtvOF8lbXokIjFbGMM1HI7g=[/tex] 绝对收敛,例如 : [tex=5.0x2.357]96riZFIzeViq7qT/tod4SbJHsZOQq713uG/ygsml0o4=[/tex], 则 [tex=6.143x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUg4WX6eKFzyAO9Ex8dKMJ17/Q9FJWLfLC1UdoGw7+MTP[/tex] 收敛,但 [tex=5.643x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1wjK8K5G7QMGUldyyHXtY4g=[/tex] 不是绝对收敛的;[tex=5.643x2.714]lq5pxgBu+l+M+tjacpaQ1wjK8K5G7QMGUldyyHXtY4g=[/tex] 绝对收敛不能保证 [tex=6.143x2.714]qN8fOJEmxCPwE8y3sw7Scwni6vgTBqAinmCI8CVzxIONmPM5KLpY8FNVqIjtrEU0[/tex] 收敛. 例如[tex=14.571x4.357]IlYeRrTlMv/pJtFJo4dGofszVdvKC9+VY1WtzQH96LYuDHNAtQvV2MKn+5RGOY4QxTYNT96+XadymNbNlacOR3RewdXXf6zwPNI3UEs6ux2DpJTKqCL2nMkO+6xR8asnNAPmjZwipU1qVHpSW1bjFvPPlDpanqGIsu9rEvpEWYE=[/tex],则 [tex=5.643x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUtvOF8lbXokIjFbGMM1HI7g=[/tex] 绝对收敛,但 [tex=6.143x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUg4WX6eKFzyAO9Ex8dKMJ17/Q9FJWLfLC1UdoGw7+MTP[/tex] 发散.(3) 由 [tex=9.143x2.357]JLWJsQRkeNBXMqf0vx0GsqceGvBvS7+JmBPLOpeJqioDANOzUXdIiSKXy1eJ+tt7JwQR/et339gJxylzMYUNuQ==[/tex], 可知 [tex=5.214x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGHElHYwpS9Xe8t+NzQ9VD3c=[/tex] 收敛保证 [tex=4.714x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSAoCoRPeICy5exaXkDBd71g=[/tex] 绝对收敛，但 [tex=4.714x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSAoCoRPeICy5exaXkDBd71g=[/tex] 绝对收敛不能保证 [tex=5.214x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGHElHYwpS9Xe8t+NzQ9VD3c=[/tex] 收敛,例如 : [tex=4.5x2.643]BQKFOrM6/wjTCv5hrNN7Cngb3/d4Ykoz9S0X3JN66AY=[/tex], 则 [tex=4.714x2.786]388S0HIqirGk5XoWsuogsI5qlTfUBuwp/sBw9aQrPkI=[/tex] 绝对收敛，但 [tex=5.214x2.786]4pdVk2Na1DC/bbL+7Z6wsxaqb2vdjHbe6PjNTeDu9B8=[/tex] 发散.

举一反三

内容

0
下列命题中正确的是. 未知类型：{'options': ['若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 中有界, 则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有最大值、最小值,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上无界,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上不连续.', '若\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内连续,则\xa0[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在\xa0[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内有最大值、最小值.'], 'type': 102}
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上可积,[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上定义, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中除了有限个点之外,都有 [tex=4.5x1.357]g5nLB1f2rSsNKL5qY072JQ==[/tex] 证明 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积, 并且有[tex=10.286x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISeP5InpehyYXak28A033MDhXvTwEN9Hk0ozWBWZ0gGlFgyOpyoftjjpQw938qmEWdA==[/tex].[br][/br]
2
证明: 若闭区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的单调有界函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 能取到 [tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex] 和 [tex=1.714x1.357]6GTYhzmnTgdXYb7xz1/D/Q==[/tex] 之间的一切值,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数.
3
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在区间[tex=3.429x1.357]H282ke8zvq0yMKlcLT3W9w==[/tex]上是单调减小的非负连续函数， [tex=3.643x1.357]Oy1JGA12hEoqLOqL0H0zPA==[/tex]. 证明：级数 [tex=2.643x3.286]3PXegz5bAQsuTODB0U8KrBH+wjGZ4B2NqYZKoXzdWWo=[/tex] 收敛的充分必要条件为无穷积分[tex=5.643x2.714]wJGaTThFo41W0bFf87CfUtvOF8lbXokIjFbGMM1HI7g=[/tex]收敛【柯西积分判别法】.
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上可积, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=6.5x1.357]UXaRUg7BF9zV7ojhkK/1rwe6GMJy7HOsBoWZi4KGW8U=[/tex]([tex=0.929x0.786]o6X45tpG/qifjWfiPhyOpQ==[/tex] 为常数 ), 证明 [tex=2.143x2.643]9b0SZgsi+TL9knQy95iF8392AEBaIU8lF6yXDNjaOsY=[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积.