设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反常积分存在 (可积), 证明:[tex=2.857x1.357]uI+/CfRHSY2ObD5dAsb69g==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]可积的充要条件为[tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反常积分存在 (可积), 并且此时成立[tex=12.286x3.0]kPpkd7IjIVrbl5Xbg3hzqyQUxzsPz3gkbscBB4OIWxAxj4q0pLdDrFmTwfqajHeIa5jn0dN8pUVPi7gLuu0fuA==[/tex]

2022-06-29

设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反常积分存在 (可积), 证明:[tex=2.857x1.357]uI+/CfRHSY2ObD5dAsb69g==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]可积的充要条件为[tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反常积分存在 (可积), 并且此时成立[tex=12.286x3.0]kPpkd7IjIVrbl5Xbg3hzqyQUxzsPz3gkbscBB4OIWxAxj4q0pLdDrFmTwfqajHeIa5jn0dN8pUVPi7gLuu0fuA==[/tex]

答案：

证明 因为[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]反常积分存在 (可积), 所以对任意的 [tex=7.643x1.357]F56JZLbklAKHl7In9U3uYyIlv9oIpujZmH/KO/9Ciso=[/tex]在[tex=3.143x1.357]WAhNg6xCdFbmHMEnkghTjC8+tNIiJq0s80wKbKsjs6M=[/tex]上: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]可积，因而 [tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex]在[tex=3.143x1.357]WAhNg6xCdFbmHMEnkghTjC8+tNIiJq0s80wKbKsjs6M=[/tex]上也 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]可积。于是由 [tex=1.0x1.214]WBe3hG/7VEn14b0OFQ5aGQ==[/tex]定理 4 得[tex=14.714x3.0]4fhBUhgbwuGQbeSbOJEp12fqteIEOfOzPxKLzUwguh8AcG/jpYN/LiLThQadZOHV7DQ2rENCoH2KlSELMfeJCB11NpI6kvFSzHcEWBJHqUs=[/tex]在上式两边令[tex=1.929x1.0]I9x1NiSpR1YwLpr78anwgWbVdYVTqI/jeibSaMELuQQ=[/tex], 则[tex=13.857x3.0]LRrXvfh63hVL+k+pVfVbWhctgfNz5tDWXIlKZtw2p8wODxvKRI2BXjXjIAMPseyt9bXrrCJhW4ILiJYmqUVFPg==[/tex]因此，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex] 可积的充要条件为 [tex=2.429x1.357]HahJs8lvA4tV0CFg1fYnxw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的反常积分存在，最后再由[tex=1.0x1.214]JXWhQBgBtAiWl/pk1Qz1Sw==[/tex]定 理 7, 有[tex=18.714x2.786]kPpkd7IjIVrbl5Xbg3hzq+qoDu8DdTGe4ObkihaYNYKLNN0ifnOK6WtQxS8FqTAer9nuU6MAhJ/KDnNPdt/zxYRoIFQuwbYaXhvshv37iA8=[/tex][tex=22.857x2.857]EQSMk9VxDMclq7qdtACQ9Pg65tWoZdrhEQ5KoScQJUIYfxEb2y6EQbBOvgE4GgPsk98Yf+ae/XyYCJxmMdiKSefxYv9f5wrbZZjwPSHHy4nXP5otpCG34v1DlH0hHpSN[/tex]

举一反三

内容

0
函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续是在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可导的
1
如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有界.
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
3
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,证明： [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒为常数的充要条件是：对于任何 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的连续函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 且 [tex=6.0x2.857]yINAHOXKHG7ruMsL/vkvBEYj6HewtfoBmgOlOkEMcJy2RxHEgnyJ8vpzCdsSLoLZ[/tex], 总有[tex=8.143x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSL4g1A5RDN/b3vHA6tm2w1heBr45R4BeYC3/TzlbrSns[/tex]
4
试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上非负可测 , 则 [tex=2.357x1.5]02aLItB8wf4u4JbLtkrTRw==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积当且仅当[tex=15.929x3.286]eo4+Or2nRjPO1XMeI9CVMAE20OkAybkezBsTcLD9KIsiOCGvijX7+HlUsNJUxch6EH/OGyFFZRxMz6Ul6s4vXvyhPcJrKi5Kbp0Su0wCIwFyNKZop26DTOilk1HGItJ3[/tex].[br][/br][br][/br]