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  • 2022-06-15
    证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在开区间 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导且无界，则[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内也无界。
    • 分析  证明本题的关键是先要把[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]与 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]联系起来，然后再由所给条件证明对任给正数 [tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]， 总会有一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex] 使[tex=5.0x1.286]dKfAGo3rU9ALC9dg+OnL050rm43AhMhMshCzRsQVp3zY0f+X7l6QU+akU0y2HOiK[/tex]。 而联系 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]与[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex] 的基本关系式，便是拉格朗日中值定理。设[tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex], [tex=1.0x1.286]qjAHqqlhpkxZEZ8WzJsZvA==[/tex]是 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内任意两点，则有[tex=18.786x8.786]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[/tex](只要[tex=7.929x1.286]WoWZTqV1/T0ISNfvp4pdf3KZvuR5T5z/Ux1Hw4zK53KVkJxRhxp/eN/I6GJq9ek5YArYXXLGX6TTUTIEDrDN0kTLD5+y7Tt8i5k09zq9GkM=[/tex]）可见，欲使 [tex=5.0x1.286]dKfAGo3rU9ALC9dg+OnL050rm43AhMhMshCzRsQVp3zY0f+X7l6QU+akU0y2HOiK[/tex]，则只需 [tex=8.786x1.286]WoWZTqV1/T0ISNfvp4pdf3KZvuR5T5z/Ux1Hw4zK53KQcTlJEdi2xCNtrIob+pTX5asF65ShIC8bAAm4tZF0Og==[/tex]， 但这样的[tex=2.5x1.286]PGHEiPu7vUlGVVYjXidCGq8ASi2Ik7j1GVCxT1BfQsU=[/tex]总是存在的。 证 任给正数[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]，设 [tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex] 为区间 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内一个固定点，由于 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内无界，故必存在一点 [tex=1.0x1.286]qjAHqqlhpkxZEZ8WzJsZvA==[/tex]，使得 [tex=4.286x1.286]DzP9/xhFbbp/6+yHV+wO/W95PtlIN73BpXl6lTFoSVs=[/tex]，且满足[tex=15.5x1.357]6efEJKyolHVGSBh/smh3NnQ+Rh1bkQHKcQxU+142JmkfedtD/h+T5mtpXxM1J69VKioAEOUdXV2vQdp1but6dOpTsqK5UJPO8iLAa1h4TImZ/5bxiaPSzclzPNWU+jkQRCmhrJIXgoL482hT3JzUUDkl/3EBfQtJ20oCuZcENzU=[/tex]，于是在区间[tex=2.929x1.286]MRQCfR7tR47Iodary6RZKJ4WSAxHtsLl31R5OGdfD8A=[/tex]（或 [tex=2.929x1.286]ySYPcayj2XNsOZIBeWuA0xCTh770RMtt/8sk2gE8z2g=[/tex]）上应用拉格朗日中值定理,则有[tex=18.786x5.786]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr0G3efBArY4wSB1CHFOQtwoV8Q9ukVhMAX+r1MyLYFV6cOUrEQFxHeTA0j0AFF4qj5puAqB5VjmLlngbAI1P+YRV6OUEGilBZqeGrj6P0MlHCiv7m1/ZwmvJovaeoqCzUi1tj6e7CVNBMqb22NlMK0KthaXYuLt56dMao69BIGfBQ66tRe2Il6iV+e2yoOOOV+E6LJYOBnruUTtzkLjHbYPdaILrHYCP3WyVbwvIuqpggy0icK/POF02EvCG3gXq4ksqaAv6L/hQxDP6mn/Emv0o0iCb/HPIIEWTEMS6Us1ZOr0Bv2ynq+t7MiZlLjUQmmwnzw3tdJWRH+7gtZmIKvc2W1xLm7C9WCjOKuqfahMccMqZXsOueq/zzWnHuqBjoGwmOFALkWHUx3wiFWeX9Fe93d/zTL48evQcqXG50Kfu40wG+gtgAGz+abXz+xCADw==[/tex]（[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex] 在 [tex=1.0x1.286]5PBm7Rex1+3Bx6Y1vbx1pg==[/tex], [tex=1.0x1.286]qjAHqqlhpkxZEZ8WzJsZvA==[/tex] 之间 )此即证明在区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内总存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=2.571x1.286]Tj7Eg4L73Pfnkgx+1lMqL5g2EMC0g4oV6D8fVUWRBhQ=[/tex]大于任给的正数 [tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]， 故 [tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]在区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内是无界的。
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    举一反三

    内容

    • 0

      设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导，且[tex=4.857x1.286]Rkfrm+InSW0h3cu+1iG9mA==[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使 [tex=3.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hY+rAdQu6nqvzbJhxnJ3MVI=[/tex]。

    • 1

      设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]  都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可微, 又对于[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内的 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 有 [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex]，则在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.929x2.714]ao6sL/whefGaAsRSHCRhNiVXgLPr34z9bPcIDVLf6DMRHjGMXhoN6zhrAaTH3O84i7BBeG6R6i5gyw2pKK7+y/bCILss0MsxhUnAVzRFssI=[/tex]

    • 2

      设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续,在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导, [tex=3.714x1.286]c/7qSEbCZzHa0GZbNzqjfQ==[/tex], [tex=10.0x2.857]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzSghLQ+KEInuY2K6MnVJ+Wk5YlEQiyB8Wqv7BbxuAXo5yCzk81I8VVIfToJCJ4GmxmMLMNdMXTfhFWk0s3tSAIQ=[/tex]， 试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]， 使[tex=8.5x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hVJg9V+x+lqkAVSWNeYnKEvlJrsAtdq3wpYAtQsMarU6[/tex]。

    • 3

      设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可微，且[tex=4.214x1.286]cM9+68aDH9w9rd1A9Ckb6mN58T/O2QEr2wNy6RHvYv4=[/tex]，[tex=4.143x1.286]LigwaoScOaIzMcYnxLOdp/yFpa7AafuUPG+OD56wvgY=[/tex]，[tex=6.929x1.286]utO9dO+6K3ibzHA0jNEBHpD62supp2hwkbvP5jr2JWA=[/tex]，试证明[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少有两个零点。

    • 4

      设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，且[tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]。证明：存在[tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使[tex=5.143x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hQtomBXUBJo6Y1MmZx2MEUM=[/tex]成立。