粗糙的半球形碗, 半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]. 有半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的小球从碗边无初速地在碗内侧向下滚动. 求这小球经过碗底的速度.[img=549x247]17e902d461d6c46.png[/img]

2022-05-27

粗糙的半球形碗, 半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]. 有半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的小球从碗边无初速地在碗内侧向下滚动. 求这小球经过碗底的速度.[img=549x247]17e902d461d6c46.png[/img]

答案：

解 小球的运动是平面平行运动. 将小球选为隔离体, 它受到如下力的作用: 重力[tex=1.357x1.0]ggH+shmfDlP+tT6L12xiPg==[/tex], 方向竖直向下; 碗对小球的支持力[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex], 指向碗的中心; 摩擦力 [tex=0.857x1.214]4hO9J1xB5JaxcJibe7yJ6Q==[/tex], 沿切线方向, 指向与运动方向相反.取自然坐标系, 并以[tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex]增加的方向为切向的正向, 则运用质心运动定理可得到小球的动力学方程如下:[tex=13.929x2.929]2SELEGMDyxATv3n/6oQc6wtkberYRRaaB1ywxnls+nCaXxuZPZIC1B5h62+CTHQxQpHz+j0i38zfcafch0Y4ITDpDMl0N/Hky9sx2/mgIqvGGtOg8pFir4k9coiXCMAVoYmJMGbkWQ+Bxpv4sVPo4HzdcW4dvicHdbh/N/DYhcs=[/tex](1).由相对于小球质心的角动量定理得[tex=8.5x2.357]Mnq2boGWPDjyFcVBJOPpki5WTuFOTuStypSyxQwd1CQQfV3+KrE/izLGoiOkxI93ZhNehTYbU7FDNSrzXjex/w==[/tex](2).设小球做无滑滚动, 则有条件[tex=7.929x1.571]xgRPZki/m0t4vlKX6FgAq0Dq6MvmHo1H/WKznLW5WgQhZY005Jqh052J8NB8h+Ng[/tex](3)由式 (1) 中的第一式、式 (2) 和式 (3), 可得[tex=8.071x2.429]vOisRbvbgWaSNi9Dzif+GVk5UGayEmFHXkrLSa0S4M3m1D/pkbJoIzg9ZFs20lpb72XB0DlzKlmkrmgXKf4q3g==[/tex](4)利用[tex=12.786x2.5]eHmJ6WkcVxLNZ4Gfz3qUfpFUGWSV61ELrhuM58FD8hGX83n8h4TyPNUFKq/EMEtMg4BL1wlO7tbs+bqRBqPK0SFJAU+GMn9zX5ITXA9kM4Ax4X7H3MQpBpaI4TruTQ/0iR62MDxGcMoZGNU5SzmYbSlmFT7zN8ewwlwTw1ZSrB58LpNm/6sVn3wJXqVoQKQ+8dDBiHXztAOrxvXIXJyKpW6C9cOyuDPtWYZgENBmudwsNVhy5c0HB1wT2cTzi9Vh7bYWWL//H4d1mKmI9MIdZQ==[/tex], 可将式 (4) 化为[tex=11.071x2.357]lC8mNGNy7QT3WOBeiL4yRQ9fhYy//xqma2yenlcDIdlUPGjoS7iODkDbzeuCFYxT41DwcKZGnVT3oCDgx1vA9yJJL4m0+Khe7FTFfAcRyDc=[/tex]考虑到[tex=1.786x1.0]S9hHaElR4EAjXyj+vAPuhg==[/tex]时[tex=1.786x1.0]Gh+jINMk6Dq21Lzk9sTRDg==[/tex], 而[tex=2.643x2.143]gO9x1pbf1QNHGd/HhZcFXc0OnjtYefxySgd3r67b100=[/tex]时, 小球的质心速度为待求的[tex=0.5x0.786]pmD1JbahT9zMRAbBNi045A==[/tex], 则积分上式并整理, 可得[tex=8.0x2.857]tvp60yp2V+7edckgsDCYgSoJ/dVxmR7AHLAACRF/kZp6CyjSooSM18TkhFSl+N6v[/tex](5)这就是小球经过碗底的速度.

举一反三

内容

0
半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的圆沿半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的圆的内侧作无滑动的滚动，写出滚动圆的点M的轨迹方程（内摆线）。在 [tex=5.429x1.214]NMVYE3l2HGzsa/IC2WadPljzX4XhjC7lNcc33wFK4gM=[/tex] 时，情况如何?
1
在半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex], 电荷体密度为 [tex=0.857x1.0]zkVuLx/VQ1XnCvAv90B7dQ==[/tex]的均匀带电球内, 挖去一个半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的小球, 如图 7.19 所示.试求: [tex=6.5x1.286]Bw8mzV0E8GTP6rloesH0JRNM6gSBcwsxr+MeRHZyVhtq+aEnY/KfuSnMRGQmyt6E[/tex]各点的电场强度.[tex=6.5x1.286]rHVA4JhcIG8S8zM4JGhHfZjnkCilww1zLklrUw/67k3+ZhVxgqCZMX0yhLRqucgL[/tex]在一条直线上.[br][/br][img=352x182]17de0b44f3c4689.png[/img]
2
已知半径为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的滚子在半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的槽中纯滚动,滚子中心的速度和切向加速度为[tex=1.0x1.0]s6Fz4wsDkcdocWAca+NUTA==[/tex]和 [tex=1.071x1.286]A+SSy/lQ3hGL7iZduIXFDpCb8F18tabQRT0BbgJYtKU=[/tex] 求图 7-4 a 所示瞬时滚子上[tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex] 两点的加速度。[img=514x280]179c6104ae751be.png[/img]
3
如图所示，在质量为 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的匀质圆盘上挖出半径为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的两个圆孔，圆孔中心在半径 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的中点，求剩余部分对通过大圆盘中心与盘面垂直的轴线的转动惯量。[img=241x242]1796a5055aa2fbf.png[/img]
4
半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的圆沿半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的圆的外侧作无滑动的滚动，列出滚动圆的点M的轨迹方程 (外摆线) , 在[tex=2.0x1.0]rcJuDi9u6TWbf+xCavzE7g==[/tex] 时情况如何?