[tex=1.786x1.357]wdWhVMWkpicynIXoLVTBow==[/tex]的正次数多项式若是不可约元,一定是本原多项式.
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]各系数的最大公因子为[tex=0.571x1.0]QDHYLzpRIwhOrWBqGonCgg==[/tex],则 [tex=7.571x1.357]rTT45yz/Z70T17zDPsuIaSWnVVGisrD4vLb1SUwZ7jk=[/tex]为正次数必元.不可逆.因 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 不可约,故 [tex=0.571x1.0]QDHYLzpRIwhOrWBqGonCgg==[/tex] 是 [tex=1.929x1.357]wdWhVMWkpicynIXoLVTBow==[/tex]中可逆元.由 [tex=1.0x1.214]DNPOOx3vR0Ggd8nUd2Wohw==[/tex]习题 [tex=1.5x1.214]xlN9bgWJ+eeFENU39BO6TQ==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中可道 元.故 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.786x1.357]KM7rUq09nDlrkNZ9ljEB1g==[/tex] 中本原多项式.
举一反三
- 令[tex=2.5x1.214]GJD7QHyrtuvcfBXfd5iSwg==[/tex]是仅含两个元素的域[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上一 元多项式环．找出[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中一切三次不可约多项式
- 多项式[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中所有次数整除[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的不可约首 1 多项式的乘积. 特别地, [tex=1.0x1.286]tfOKBWaLBHOxp4502/oePg==[/tex]上任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次不可约首 1 多项式均是[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]的次数最高的不可约因子.
- 列出多项式环[tex=2.214x1.357]Hx0uiLm5auamyXawloAtI5O4KH7jGkQYCcRXAaZqjI4=[/tex]中次数不超过[tex=0.5x1.0]2IRxdDa5OUp8cccgqlpdUA==[/tex]的所有不可约多项式。
- 令[tex=2.143x1.0]ZKy48ZoXMq79p+deYyxd3Q==[/tex]是仅含两个元素的域。 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一元多项式环。找出[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中一切三次不可约多项式。
- 令[tex=2.143x1.0]ZKy48ZoXMq79p+deYyxd3Q==[/tex]是仅含两个元素的域。 [tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一元多项式环。证明，[tex=3.643x1.357]6yBAIp+rQ6nnop6LBJniXw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中唯一的二次不可约多项式。
内容
- 0
列出[tex=1.071x1.214]BsDjntl8J4yPmUPIPPsiSw==[/tex]上全部次数小于 5 的不可约多项式.
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证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- 2
证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 3
每一个次数大于0的本原多项式都可以分解为（）在Q上不可约的本原多项式的乘积。
- 4
设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是一个惟一分解整环. 证明:可约的本原多项式必有次数大于零的多项式为其真因子.