设自原点到一曲线上任意一点的距离等于此曲线在该点的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点到该点的距离，求此曲线的方程。
解：设所求曲线的方程为[tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]，在曲线上任取一点[tex=3.071x1.357]2Rrn7HZfVUTQWzJ2OiUxoA==[/tex]，由题意设过点[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]作曲线 的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点为 [tex=3.571x1.357]XDzRJ5rBPHSOaPV0nEcixA==[/tex]或[tex=3.0x1.357]yPUhbQ8RR6Ahm8pLrd+dXg==[/tex]，所以切线的方程为[tex=6.214x2.429]GycxgmwLQwGhm/57gBMQHHp8NruZqMPCWO1OOkyJTpBdeGJBL1qEwRZSOnN44oph[/tex]或[tex=3.357x2.429]JN6o/Wy+t5FeFtGmFotnZIW0CuiPuWe1Qq9DRvV2Mn7h5sPzRYrpVCN7WmpEWLTF[/tex]，两边积分得[tex=2.571x1.214]HpYzGbWol7KQ6Q6nPeZGMQ==[/tex]或[tex=2.571x1.214]3tSS0tDqTHY69BmHGCnhiw==[/tex]，故所求方程为[tex=3.143x1.214]Li0XyVicMYzhzAaZaow+8w==[/tex]或[tex=2.571x1.214]j57scEkOFx6RyXDt5g1Jmg==[/tex]。
举一反三
- 求一曲线的方程，该曲线通过点[tex=2.286x1.357]IVQHL7gpVvGMeTU2JgKtIg==[/tex]且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
- 一曲线过点(1,0)且曲线上任一点[tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处的切线在[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 轴上的截距等于[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]点与原点的距离.求该曲线的方程.
- 设曲线上任一点 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 处的切线与 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 轴交于 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 点。已知原点与 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 点的距离等于 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 间的距离，且曲线过点 [tex=2.5x1.357]LhnNqMt4MCSmCsT9zN3bmA==[/tex] 求该曲线的方程。
- 求下列曲线的方程:曲线上任意点 [tex=2.929x1.357]25jAdQ4EVKhlk22U111yAg==[/tex] 处到原点的距离等于点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 和点 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 之间的距离,其中[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 点是曲线上过点 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 的切线与[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴的交点.
- 设一曲线过点(1,0),曲线上任一点P(x, y)处的切线在y轴上的截距等于原点到点P的距离,求此曲线的方程.
内容
- 0
一曲线通过点[tex=2.714x1.571]lkEdLqOa3fxGxrBAalA65+W8cYttyqyFVp0A5Wre9wc=[/tex], 且在任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.
- 1
曲线上任一点的切线的斜率等于原点与该切点连线的斜率的 2 倍，且曲线过点 [tex=3.286x2.786]M+ir23g/hnqeA+fZsQzzEykXDV1JA3dkJvfQ9AyZzvHh9csVhUZwyCZjSH4RIHp9[/tex]，求该曲线的方程。
- 2
一曲线通过点 [tex=2.571x1.571]2WFXeptbGgkc8eUXQzh7gG7+tgTBcg9rOA6E7j10yzoQSJO7NAy6rysAYVpu0SVV[/tex]且在任意点的切线的斜率等于该点横坐标点的倒数，求该曲线的方程
- 3
一曲线通过点 [tex=2.714x1.571]lkEdLqOa3fxGxrBAalA65+W8cYttyqyFVp0A5Wre9wc=[/tex], 且在任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程
- 4
曲线上任一点的切线垂直于由原点到切点的连线, 且曲线过点 [tex=3.5x1.286]fNbNfc5CuexRbVEPodAAAA==[/tex], 求曲线的方程.