证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。

2022-07-01

证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。

答案：

证：必要性显然，下证充分性。设本题条件成立，[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的开覆盖，则有一个有限(可数)开覆盖[tex=0.929x1.0]yrdxKP53BahSSWdMks+nxQ==[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细，即对每一个[tex=2.357x1.071]PlTBIFwv09pGGbZ33FqTrLmnZ9OT9ZzngpQjGpZKsgc=[/tex]，存在[tex=3.143x1.214]RHpevg5PQbSl1xqgBdbwwllV46nczLc6TyDduKObPS8=[/tex]，使[tex=2.857x1.214]50XEROXoDrT2H8f4n5sLYKUc3WR+sCG7ZV6w8iJ3dZM=[/tex]，设[tex=6.0x1.429]c4AOfSJkJr/TlStkYIuDOv2xRGb9F5mSfLUCf8CrGcKfhh12JdIYxJcgSvFAspsAi6tqrT2Hz7LHegZ/wIMpAOYTVOFM2cVspEpRMP23i/Q=[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的有限(可数)开覆盖，所以[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间 (Lindelöf)。

举一反三

内容

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设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是可数紧致空间。证明：积空间[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]也是一个可数紧致空间。
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设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
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设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是可分距离空间, [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 的一个开覆盖,即 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 是一族开集,使得对每个 [tex=2.071x1.071]Q0LLD7UDggt+6n6MtMqlhg==[/tex],有 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中开集O,使 $[tex=2.071x1.071]R2zofbATWrNVJHHFVRXc6w==[/tex], 证明必可从[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 中选出可数个集组成[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中一个覆盖.
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设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为度量空间。证明：[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中收敛序列有唯一的极限。
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设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为距离空间, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中子集,令 [tex=10.643x1.357]5cM/LvJqoCikO7A5c+WCIGNRUqezDJxu3zpxuE11UPKaIvCUSRrZmDCbItUQwXHvm/mb7WPRr4/CaMIdGTZddg==[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]上连续函数.