设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导（0
证明：由题设f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈（a，b），使：f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)…①又f（x），1x在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，故存在η∈（a，b），使：f(b)-f(a)1b-1a=f′(η)-1η2，即：f(b)-f(a)b-a=f′(η)abη2…②由①②可得f′(ξ)=f′(η)abη2，其中ξ，η∈（a，b）．
举一反三
- 设ab＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：存在ε∈(a，b)，使得设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内连续可导，x。∈(a，b)是f(x)的唯一驻点．若f(x。)是极小值，证明：x∈(a，x。)时，fˊ(x)＜0；x∈(x。，b)时，fˊ(x)＞0
- 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(0＜a＜b)，证明：在(a，b)内至少有一点c，使得2c[f(b)－f(a)]＝fˊ(c)(b2－a2)．
- 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：
- 设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)=0,则在（a,b）内至少存在一点c，使得[img=194x26]1802fa0d81239e1.png[/img]
- 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
内容
- 0
设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：
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设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。
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设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明∫(a,b)[f(x)]²dx＞0
- 3
若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点c属于[a,b]，使得f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。（）
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设函数f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内有f′（x）＞0，证明：在（a，b）内存在唯一的一点ξ，使得（ξ-a）f（ξ）-∫ξaf（x）dx=3∫bξf（x）dx-3（b-ξ）f（ξ）．