设有一半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的球体，[tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到[tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]距离的平方成正比（比例常数[tex=2.357x1.071]4T26yXsA0w27cxlSaZXu7w==[/tex]），求球体的质心位置.

2022-05-27

设有一半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的球体，[tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到[tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]距离的平方成正比（比例常数[tex=2.357x1.071]4T26yXsA0w27cxlSaZXu7w==[/tex]），求球体的质心位置.

答案：

设球心为[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]，以球心为坐标原点，射线[tex=1.786x1.214]o7TmNAw1Hd5j6Ry2j9C1sA==[/tex]为正[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]轴建立直角坐标系，设质心坐标为[tex=3.214x1.357]CUSX85vyvN4N/ph+GAjVt2InBJrp4U0FuZB1M5QcMOk=[/tex].由题意知：[tex=3.071x1.214]qs8zEOnMn0xqdnL8vsX5+BOdbft/8XcFZDDnZkTg5Ag=[/tex]（对称性）[tex=27.857x3.357]HsgUeOKda6hS10Y06Gp+JTglgMa4811N+LQg3I3YtA7Tkq2mJtFiXnvfKCe2Yvimi5rQbWDN6tOr8c5ZChzkmiKSGJyt6QtSz+0PPt4Kap/eauNMrrdY+FF+eKK2Unxiy+S6KhWGdqSGuIxgo9JnhtF6KFQp0YLG5jHYwrjAmHcPxAbND9e17WqTSbWbFfWbRTU8MfJZcyartWq4h3tOWw==[/tex]又[tex=27.643x3.357]lqxpp1Okm+2z/2drYPfTVKid5MT7BW+94M7P08uA9GQ2L5dkZKmUXn0blIKh+GpAEEFgay4/Qu7tttZ+xpRylAeXcdX9vm7WE7ebzHrdDcPY1MRDHM6EoeyXxRaNTG7HvxcyzeS/B5KjwrN996d6AwwpsjPsjFWPTRPtUyNx8plyjMMB2cw05/S8Inis+mhlRGMhR862VEZoWANlng3nTw==[/tex][tex=20.643x2.857]JTDt3s9g+d3oXj3sosCjwgnztBDM/lOPNtvJN2nTZlWpli86Om3E0enYuy1pU5ElXNXojINiaUucglqFGM+u7VmaDvcEpgl8MQRre3vh5Uq1/rXkP8kkJZE6tOFgaYqb9Jcpv6U6MuB0Re/vgu7RToSg3jq0uBZ1zf2e4VH8iw9AldVXWFR3olrk9VFegdETCzGVg0+b1morur8EtmEA5w==[/tex][tex=4.143x2.357]jwYDcNTol4yLy9BUvb38/IdHTFyaBMQGta63l7VRRKY=[/tex]，[tex=32.786x3.357]lqxpp1Okm+2z/2drYPfTVFHS+Mj1N96y8Ltk4Nh1Z111mdENy+OOWnJ7ozapPaXajMf7jSk4v0Pfj5uypgZ5m2dXHMZdoroHo3PdcbmAlLyjamAMrqJHxlmuma1rAqsdSZtqGlikirFp6ngInXWoeYV0jBAt+pxfAKgN+3Hbo6c8l0Q1GYmUOscROUlnLHx6AuejI5nluvFCY/s3xWdl2ZuB/XGK1W+wyLNOrGEpLd0=[/tex][tex=18.643x2.857]Pu+PXiY/TmvdfbSmp9PXDHZwc+VKBjg13WN0vbS3ZSdUELhh1Tsu13dE/F5qwZBLb4SbWzAgT4oWnvNo1Qpm1D0qmrhEDBr2a5rcCnnpLanUziXaHsSSJLyyjT5WiHEGDANgN3C95hoZcp+Ml7wWK5HSjQjYR0r858wZKaEKq9m2rDplvfcSdpXzn/Eu9PMJ[/tex][tex=4.857x2.357]MXCsmCAROIA8rpLtrobi0qgOnqzlkoi2L7F9Lzm4nZ4=[/tex]，故[tex=3.357x2.429]1N9ESP3iy4kUY39wEUG/Fy1jOzBdRGUTv5+T2a71974=[/tex]，即球体的质心坐标为[tex=5.143x2.786]mL2bKGe/GdTcP2Y6fPocCvvINAIqflvga+OQsRQ71PXS9fcm3B/2o7NbQwNULbNz[/tex].

举一反三

内容

0
图示为一具有球对称性分布的静电场的 [tex=2.571x1.0]PwG2KitkNoPHb47ZBE8quA==[/tex] 关系曲线. 请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的.[br][/br](A) 半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的均匀带电球面.(B) 半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的均匀带电球体.(C) 半径为 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 、电荷体密度 [tex=5.643x1.357]wFwqROiTdQ7MvGtIdeJF6bba5gJpxZHPP8WOlhpZ5iA=[/tex] 为常数）的非均匀带电球体.(D) 半径为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 、电荷体密度 [tex=6.143x1.357]YJdEBzO1+quzuAU3Rij7PMMP8w7u9kTCpQ86TWRxT3s=[/tex] 为常数[tex=0.429x1.357]VJTYmdtttZvFrSMSWqFgqw==[/tex] 的非均匀带电球体. [br][/br][img=199x161]17a9527aab07e7c.png[/img]
1
求一半径为[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]的半球体的质量与重心，假设其上任一点密度与该点到底面的距离成正比。
2
设有半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的均匀球体[tex=3.071x1.286]KigTAY/F3Onxpz9WfWM4KA==[/tex]，球外一点[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]放置一单位质点，试求球体对该质点的引力。
3
球体[tex=8.429x1.429]GhC4gWYnkm/iCx4RIN2nz6aEOlANpvq+gtRsFV5KZFmqYXfRdgq1SgqnvppG68Rq[/tex]各点处密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心.
4
球心在原点，半径为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。