举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 证明: 如果存在唯一的 [tex=2.143x1.214]0G40S7xy/AyjVZa9odMngw==[/tex] 使 [tex=3.071x1.214]7QjMUvcbaXnFztR0qOs4Dg==[/tex]则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个环, [tex=2.286x1.071]BX5Hq24pv20xx1ImfWhlnQ==[/tex] 如果存在 [tex=2.5x1.214]MUBOqhgSidNbIiPGutca8TrElVNegsU2eDrOYBfzzXU=[/tex] 使 [tex=2.571x1.214]vISNIN/rFHRC9rdtmDdjoQ==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个幂零元(nilpotent element).(1) 试求 [tex=1.429x1.214]jBC5UhniB1q3BXBWtSyFOc2/wXu1a7+esOF5m9BzKww=[/tex] 的所有幂零元;(2) 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 的交换环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个幕零元, 则 [tex=1.857x1.071]TckY1UXsKGQ9dh30ORCSzg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个可逆元;(3) 证明: 交换环的幂零元全体构成一个子环.
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
- 设 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是有单位元环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的一个可逆元，证明[tex=1.357x1.071]8yCwfz9DDtEtAlvOBd+Hzg==[/tex] 也是可逆元， 且 [tex=6.071x1.5]oiuwd+L46nf4K9wnrs8yJpYIcX6RhmujF1kSw3uHa1c=[/tex]。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 对于 [tex=2.286x1.214]SCTN5cCAZwQwtexbANDc8g==[/tex] 如果存在 [tex=2.143x1.214]MZTFub2B+s3YbGewIdydwQ==[/tex] 使得 [tex=4.286x1.214]NV1D0gBzpe77ylNh7rrBPA==[/tex] 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为可逆元( 或称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为单位, 注意不要与单位元 [tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex] 混淆 ), 称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 是 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的逆, 记作 [tex=1.786x1.214]fANTqBtpXRtjjxA/FVe/Qg==[/tex] 证明 : [tex=2.0x1.357]beH6DnGK6LEsYI2cIHxhuQ==[/tex] 中一个元素 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是可逆元当且仅当 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是零次多项式.
内容
- 0
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
- 1
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的可逆元不可能是零因子.
- 2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环. 如果[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex]有[tex=2.286x1.0]rZ0c/DqUwOwC6KLNVAW7uQ==[/tex]，则称 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的一个右逆元，而称[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]的一个左逆元. 证明卡普兰斯基(L Kaplansky) 定理：若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]有多于一个的右逆元，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]必有无限多个右逆元.
- 3
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的交换环, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个域[tex=2.071x1.0]bMRrINhuwlMbjrHDeWypolm63DRNVHJ9HbNYCM+Hi9g=[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex] 和[tex=1.071x1.0]h9ILou3P7Mn69Kuw8fnq7w==[/tex]注 本题有误. 这是因为: 当[tex=3.071x1.357]9A9nYK5hmRgtjsWJfPXzrw==[/tex] 时,[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环,[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]不是一个 域, 但[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex]和[tex=1.071x1.0]u45wpeE204qOexrycojF0Q==[/tex]应将本题改为“设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是至少含有两个元素的有单位元的交换环, 证明 : [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域 [tex=2.071x1.0]bMRrINhuwlMbjrHDeWypolm63DRNVHJ9HbNYCM+Hi9g=[/tex]的理想只有[tex=1.5x1.357]NOCPYNtDvmDx0X9A9YTbEQ==[/tex]和[tex=1.5x1.429]kO0M/I6D9JzH6hOV0X2lqg==[/tex]下面就修改后的题目进行证明.
- 4
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元的环，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]与[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中的单位(即可逆元).证明：若有二互素整数[tex=1.929x1.0]+MkgvJhrh9DSU9I+bn6v4w==[/tex]使[p=align:center][tex=6.286x1.214]heRFm+iYOVdYaQJun1eOIrMHsUgW8o1KE1j3nQoyuE0=[/tex]则必[tex=1.786x1.0]e6yz2KDSejyMapjVGIIQDA==[/tex].