设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]

2022-05-28

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]

答案：

证明 (1) 存在可逆矩阵 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 和 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使[tex=6.5x2.786]DpCQRCLRE6AJXtGDmbDtKnP1byDXSUC8J8j/3FRLQ/DzOY4XEzG2SWjVhdzhUYgOUiNkwZMkPr5a2yTOaFIMCdCEzjBia8jxEzk8lQ2jRIo=[/tex] 因此 [tex=6.857x1.357]0gXX62RHVMGNxijZqxKeCK029Ma/XDNmTrQjyV+QvK5h4tx11vF2I62pHO0sL1Vy[/tex], 即 [tex=6.929x1.5]0gXX62RHVMGNxijZqxKeCBIcakGF9dbuIh7dDjPKcLh+b4zmGA1Vb73LRD8la8Dh[/tex], 也就是 [tex=7.286x1.357]6oLGXxNi3X+884iwN7tlPSIHmswzTM6w3Dw08eoKH4SbO3Yt5ARIUeo6ENg4jMaj[/tex] 令 [tex=6.214x1.357]ktnCJptm+NrbBLO0nt7azpcpuoFdgwSFqdrRyAHhm5CA1EcHI1eQKUn3KTY3jVWt[/tex] 即可.(2) 同理可证, 或者考虑 [tex=1.0x1.143]/JEgcwcW8SygobTl2dHQNA==[/tex] 并利用 (1) 的结论. 

举一反三

内容

0
证明:设[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex], 则有 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使 [tex=3.286x1.214]2MpBj3HxuvgFGXLpO4ZTTA==[/tex]
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 的矩阵，若[tex=7.143x1.357]Ulo/hWBFJbTkgu33mn4K9OxKei/ZBzeGXme8k40VmGA=[/tex] 则 [tex=2.786x1.357]JE0TmaYis/Uefr/RSyBL0Q==[/tex][input=type:blank,size:6][/input]
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵,[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵，其中[tex=3.143x0.929]l6Jw54gxNWln0dfsw44Jtw==[/tex] 如果[tex=2.786x1.0]YX5lolnI6Ykt6Dnvpiqecw==[/tex], 证明: 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的列向量组线性无关.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 阶梯形矩阵, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的秩等于其非零行的个数, 且阶梯点所在的列向量是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的列向量的极大无关组.
4
对任意方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，必存在正整数[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]，使得矩阵[tex=1.429x1.0]fm4GXlpWBX+2xZ+uhmUxiA==[/tex]之秩等于矩阵[tex=2.357x1.214]Ce7/hjkY2evW7vWzN5B97w==[/tex]之秩。