横截面为半圆形的正柱形无盖容器,其表面积等于[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex],当其尺寸如何时,此容器有最大的容积
设容器的横截面半径为 [tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex] ,高为[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex] 则问题成为求目标函数 [tex=6.643x2.357]TpiSDwONx7sa+nmjtCEr93bXk1BcoaEWBgmVsjFYR1Q=[/tex] 在约束条件 [tex=5.786x1.429]v5UtfCYJT+ay44szYrVeJhFplVqmpC93l5pefBqVjhU=[/tex] 下的最小值. 应用 Lagrange 乘数法 令[tex=16.571x2.357]PoWqBkEonivTIP7bu8s+e5/1teL0s9TGBDyujzHq+ZHaT18inEa6IxxhttbG3Mvt73GuIdzA5WR1iwRbViQ5DfV1shTIjAqSlLEeg0JBugtbojAMb8P5j11P0rBUto8t[/tex] 求[tex=0.714x1.0]ravtxd2oof9d0U26ZFAIhw==[/tex] 对各个变量的偏导函数,并令它们都等于零,得 [tex=13.214x5.786]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz7W4xfCUp0M3TROwgpCxAz4x0H1UL/wgiKOv4JEK+WSy6mcLAZ2RvXxe1Cb8IckxB7lIOk83rMfkO5CybdEcgtFwITUkS1vbnfCLq5zFAC6aj3HAQb4AAZG+HUKQkJiaFKHfKkp2tQV1BNf6StHvCud7Ti/ZqBknLtroXn3RsC1zyY9FmWh48dU8QYO6CG6ulhx6fh8qOD2VogLRBalZwMI=[/tex] 解方程组,得唯一解 [tex=9.357x2.786]O7ZeRhawulfc0yWzTDDWP2StkoqBSp9rYK2zXTKtKAjD6PoyiM1A6rCQK0fJBRdRcLgWP5Mb71h9k26/HpRShA==[/tex]即当容器的横截面半径为 [tex=2.429x2.786]155YpTsS2YQ6APtXWtU/gj0g8dnJ5//PO4Q3Qhfw5cg=[/tex] 、高为 [tex=2.929x2.786]kVZegjIVvtCX9xjkvSuCxS8dn3+esTvL1nnDZHn/KaQ=[/tex] 时,容器的容积最大 最大容积为[tex=12.214x3.357]k2+K+QBk/YmrfiEkUOWB6EzZVfNy9y2EIwn2Rlqe89aJcvPUyLeDY4TncUVj/0NAqT1X66bL2UF/gLJvn5zr0B2267tkp+ar8NLldIXj5mY8xRM80uWIlw6qL8u0Ho1K[/tex]
举一反三
- 横截面为半圆形的无盖柱形浴盆,其表面积等于 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex],在何种尺寸下此盆有最大的容积?
- 对一个没有顶、截面为半圆、表面积为 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的正圆柱形容器,求出这个容器的各个尺寸,使得其体积最大.
- 欲做表面积为 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]且横截面是半圆形的柱形(平放)开顶浴盆(如图示 ),问:如何选择尺寸,才能使浴盆的容积最大?[img=237x86]179370a3226d343.png[/img]
- 有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]时,要使容器的表面积为最小,问底的半径与容器高的比例应该怎样?
- 有一上部为圆柱形、下部为圆锥形的无盖容器,容积为常数. 试证要使容器侧面积最小,容器的尺寸间应有如下关系:[tex=7.357x1.5]FyMMyC79hmepjB2+COwd6vHo2slEoIjLr270H1THGV0=[/tex] ,其中 [tex=2.071x1.214]H0y0hEN+MbDrL3Z3LBBlkQ==[/tex] 分别为圆柱形的半径与高, [tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex] 为圆锥形的高.
内容
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加工一密闭容器,下部为圆形柱形,上部为半球形,容积 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 一定,问圆柱底半径 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 为多少时用料最省?此时圆柱的高 [tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex] 为多少?
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要造一个容积等于定数[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸方可使表面积最小。
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要制造一个无盖的圆柱形容器,其容积为[tex=0.786x1.0]J380cck9pRNnzgtylIGE8g==[/tex],要求表面积[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]最小,问该容器的高度[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]和底半径[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]应各是多少?
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边长为a的正方体铁皮做一个无盖容器,如何裁剪才能使容积最大?
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直径 相同的圆柱体与半球体拼接在一起构成一物体,其体积为给定值[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex].要使此物体具有最小的表面积,其尺寸如何?