证明：[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为1的充分必要条件是[tex=2.786x1.214]GNyDUjEdZcWxjJxKtpJ3CM5mp0Uo59FOiO6BscnJzxY=[/tex]，其中[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]和[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]分别是[tex=2.643x1.143]vnKMAvJG3if5mFrCgxL9Dw==[/tex]和[tex=2.357x1.143]+Vtz/I70gNFchVV0AMWfvw==[/tex]的非零矩阵。

2022-07-24

证明：[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为1的充分必要条件是[tex=2.786x1.214]GNyDUjEdZcWxjJxKtpJ3CM5mp0Uo59FOiO6BscnJzxY=[/tex]，其中[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]和[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]分别是[tex=2.643x1.143]vnKMAvJG3if5mFrCgxL9Dw==[/tex]和[tex=2.357x1.143]+Vtz/I70gNFchVV0AMWfvw==[/tex]的非零矩阵。

答案：

证法一：因为[tex=4.214x1.0]uqh+oOvD2P9iqZ7dD7XO1HHSYlOG9D9XoKQNh5cFfJE=[/tex]，所以存在[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶和[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆方阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]和[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]，使得[tex=12.643x4.786]GOgGvXf8fpWrP7XGIdsj89G/9926ojaW80JkiFKyXoFicEMgdWkOwocxtieIilkaTNWlU2giV5Cuq/T9+0cZM5i1V7N6ZC20zc/rfCh7b/Y7B8/6O/L21OqLGTG0/X/Hp835L2WcnkTUxZKbkbO7v4c0auuL6TvAJmlthKX/UAB3UJJAwtSdUCnJhC2LYp09pK68X0vaVI2YnDrfDZ1ioA==[/tex]。将[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]按列分块为[tex=8.286x1.357]93HgAvtIr2P+uKIg40Qx7ZhJBmRbElAAzPVRGTxH7Gz8qGEQ6uAlAXBYhTctyVsrlJIhCywFPHYFJJXWnbBqaw==[/tex]，其中[tex=6.143x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU88HyqryjOXVFLrLi0G37BuV7UZ5hGJ/oXj3StA4nJzl[/tex]是[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]维列向量，因为[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是可逆的，所以列向量[tex=6.143x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU88HyqryjOXVFLrLi0G37BuV7UZ5hGJ/oXj3StA4nJzl[/tex]都是非零的，同样将[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]按行分块为[tex=5.5x5.357]jRfGsnrf6b2OkLA4NcoXOvVWevG0smwXpd57qoWy/vghRPCqX7yl8zFqsOlqu0S5os4yKCNB8X13iWd73PBNjhWhfCQJYKbM62aSCyRuSEmz4fFb6dC4bvwdLtFE2qe0[/tex]，其中[tex=5.714x1.214]6Jd4PlLmEW9UhTZwTsrSjfjvi8pLdqeXrrBgS97XPowcYdBaPu+q58E/8UZl9uYw[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维非零行向量，于是[tex=12.643x4.786]T5l7qtmPpdqsewivj0npxdlJRXWFfIVaXERPipc/8XUxFF4jAgelEsiHIF83JSZEKLq7FRdxHpvT0QBGl9ZBpKBruXGatcQNsFNz0pf/hy2mptSej2SHXNJWbox8D4fXYff++GoO3XhOsCYEG03A4aicp0uFKwQSeTMaW1vTZ0z33a43cgDg3CnIpooTp56B9wHQchV6EedMj0vvOw/jxQ==[/tex][tex=21.286x5.357]tewwR0h3TBG70lJcWVcRBxOhANUVb1qC5Rf6IGUN13Y4WQalyTtHAwNdGWFk1fhK/bAd35B79CJG5BaA19noxJLpkKrz7jFJwJrr2bt2BJBdJ23KssiCSL7gHLwtWheReNjq07H/Qp/dCBT+4NNl3l33yQiXG6XugptUSozXk55e9bXYV6kX80bUpEELsvCcamXF91TrGS+OUBnbZVSaVTXkQxQTLwOVKr7LdVrafTEVY361Kw9bAWu38T5iYVvE8zujuJeqyOumv0viuoj1rYso00mzrKyN1vCK5YGGYxXNCot+NHOjrW9yXusM0HwelENMehRDAT3u0CK19p1zAWrzi4Y+sWWPbLRYngYaJzKnKgZRxFlfuD0DFox4EO3M[/tex][tex=13.357x5.357]tewwR0h3TBG70lJcWVcRByFHzndACiHw2aBxoGvUUyWfkddWKAVdGdqeXE5dHZ54SlUF/eUX31UWgccjwpr0v1V4qGaqDh0AP0am4WvU5jgQ9BS8qqlMlAKn2g7J688OSH5yOn8oN40ttNbQb0F5w+7qgjlDYIUH96KuybQnGCmOICSCfLCBZwEmky4RakZKXbjhEuJwgAAoYSOct/hIFg==[/tex]。证法二：由于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为1，所以由满秩分解定理，存在[tex=2.643x1.143]vnKMAvJG3if5mFrCgxL9Dw==[/tex]列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]和[tex=2.357x1.143]+Vtz/I70gNFchVV0AMWfvw==[/tex]行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]，使得[tex=3.071x1.0]FXpGwBLUihpocObiMwmMhQ==[/tex]。由[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=2.643x1.143]vnKMAvJG3if5mFrCgxL9Dw==[/tex]矩阵，且秩为1，所以[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]维非零的列向量，而[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是[tex=2.357x1.143]+Vtz/I70gNFchVV0AMWfvw==[/tex]，且秩为1，所以[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]维非零的行向量，因此取[tex=2.214x1.0]ZzReYt++gENVPxRtmRqg2g==[/tex]，[tex=2.071x1.214]l8FlNNdOqUAz9Od27oUizA==[/tex]即可。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, 求证:(1) 若 [tex=3.357x1.357]a7qAbmiLBFc3iSK33Jqg/g==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是列满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵 [tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]，使 [tex=3.214x1.214]qFuOqB/J5YwAsAHomJYPyw==[/tex];(2) 若 [tex=3.643x1.357]NrKc/6u1O1LFs1JAil+zeg==[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是行满秩阵, 则必存在秩等于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 的 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.643x1.214]zyEHVZjYzQ8SDWBlfQFbZA==[/tex]
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵.当[tex=2.286x0.929]MvAzo/W52101fXj5D4S9tw==[/tex]时证(1) [tex=5.286x1.357]v3ftjfg5853+CriE4S8dXA==[/tex]；(2) [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex]不可逆；(3) 齐次线性方程组[tex=4.714x1.357]MHhWKj9Fmo6BowhdwpS8Aw==[/tex]有非零解.
2
设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵，证明: [tex=2.0x1.214]bB6MSaCzjTYi/viQyxJE0g==[/tex]和[tex=2.0x1.214]+ViHPiY1x3grdTX5xtwu9Q==[/tex]都是对称矩阵.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=2.357x1.143]mRv/n5Z9chZTIRHiNEmvvw==[/tex] 矩阵, 若 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 有相同的秩,求证: 对任意的 [tex=2.071x1.143]6lR8OQoKIjEKuNzqcwcrcA==[/tex] 矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 矩阵 [tex=2.286x1.0]7G+DRyq9DQdwAo7mOI27Xg==[/tex] 和矩阵 [tex=1.5x1.0]S6YiYmsVokvpaVMxlyTBUg==[/tex] 也有相同的秩.
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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]/nWgWZWXmeNCPcwAggrwNg==[/tex]矩阵,[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵，其中[tex=3.143x0.929]l6Jw54gxNWln0dfsw44Jtw==[/tex] 如果[tex=2.786x1.0]YX5lolnI6Ykt6Dnvpiqecw==[/tex], 证明: 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的列向量组线性无关.