若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的孤点奇点, [tex=5.643x1.5]aidaS80SO+5HndBDUVs5HJ6G1Cq7RVWQeA9jfoASH98=[/tex] 为正整数) 在点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的去心邻域内有界，试证: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的不高于 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 级的极点或可去奇点.

2022-07-23

若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的孤点奇点, [tex=5.643x1.5]aidaS80SO+5HndBDUVs5HJ6G1Cq7RVWQeA9jfoASH98=[/tex] 为正整数) 在点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的去心邻域内有界，试证: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的不高于 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 级的极点或可去奇点.

答案：

证 由题意,函数 [tex=8.643x1.571]ZMX3QTIO8eYfSKK9SrGaYjggWz4iLz7k8Fj5/SoA5gjxqm1dnR7iP/NABOUSPZWJVCpUza3rk8I4k6YU+bQm4A==[/tex] 在 [tex=6.286x1.357]VthGv1aL/LV/u9IBKmzzvQ==[/tex] 内解析 [tex=1.0x0.643]bMRrINhuwlMbjrHDeWypogdkWGb3ojVpD4vc6TFnQGs=[/tex] 在 [tex=6.286x1.357]VthGv1aL/LV/u9IBKmzzvQ==[/tex] 内 [tex=8.357x3.286]217wmAZsk4yWDuoRb7aR2Ri8LPiuk184WJrk51GoeJcUcrbjMWBkPV746xcT1ayQ[/tex], 其中[p=align:center][tex=13.929x4.643]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dmm9h9xjBTNyTg1OpcxVW6Qb/EsMSejYb6kOxM/qw/FRB2mW3SCort1meznZCRAMHR/l8uWPyBSYmp+sZxR9zB699bmGAfxuP6C5AJ3EnUp9YRy5uzeGsH+7aMKvwvVyNrgja/Xnly7djkO4t0gh/yWGaO4EGRlMCyH5qmmiUFn1JmaClZEfCVNCG55u/aPx1w==[/tex]再由 [tex=5.0x1.357]6guDt3UqbQlpLvcxN14UKrzODRt25UifLBA6wIKOC/c=[/tex] 有界）又知[p=align:center][tex=30.857x2.857]H9/vgVnvDBlbmTJMU5wD9IUIvOpnfX0aZMHUiOBiUSgZDjuzFazmEmq1qV2uNb47p1cLc6O17ERVBJohonKQYgZ08fx4r1b1f1+1eui/WDQGgcHBcAYFze1yUQrGhmp/vnBucE9dpoKcLWaBlKmzfkxegKnlnGqs8qIakMsUgxsKN98dHZA6bIFHWvGb84eU434tGo240qhdTzIsnA709A8vDHzt6puPY+VCdUSNIlJDeczfFJb1oU9ZSWZtxKZQ[/tex]于是对于负幂项的系数[p=align:center][tex=7.286x1.357]/eCDsNFq/NwHXpV9I5ulgviAi92CjMpZLJGs/SQEmi8uPoIVlxBHcVvC3na0uxn8AGgBJW8NefGDGmroO12iEg==[/tex]( 当 [tex=9.0x1.357]BYS5pwNZ/LlgT0sAhcRDrV+P/uCiy1xSy7yjZdY5v2b8XeV07stWRU8D3rA6qK70[/tex]即 [tex=9.071x1.357]vdCI+genQOXRbMyJNT+9OPw2N2fxyZtW7lMG8XlrDiI=[/tex], 从而 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的可去奇点,补充定义可使 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 在 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 点解析 . 又因为[p=align:center][tex=5.5x3.357]dU/REctrjbHqAJ72aDaLs34UX9xylUkbIBoDvtwSdsWZ0tVi/g2xxbQKcmMozwl0[/tex]所以(i) 当 [tex=3.571x1.286]kyjQWN5cUb6xlk4Xp12Mz2GOCM2m2r/X9z9TFW643ps=[/tex] 时,a 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 级极点; (ii) 当  [tex=24.357x1.286]9hm8La4WktyCl1+K0XpCiU6FJLQw/S50JG0hBp2W1ngAIsfKePzRNYCtl5rwxz++mOIN9Jv4Fb9+CyGBIEEuTZvl2xGM+tH5O+b08mYsWryQIFEorRORvYWibsjyz+vy[/tex] 时,a 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的 [tex=1.643x1.143]SJHOuzIjZm5NcaKr8rO/3Q==[/tex] 级极点;(iii) 当 [tex=11.857x1.571]MQrdheipIEup8xQs1llhuo6KyWmGC7HCV/ZdzKTOpbarqdl6LzAfIAagi2uBCYiL[/tex] 时, a 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的可去奇点（解析点）总之,a 是  [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的不高于 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 级的极点或可去奇点.

举一反三

内容

0
设[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的令域内解析并且[tex=3.643x1.286]34y+EoEx1EWnBn3zBaG1Btxx65bXyzet52Gp0rjE6WU=[/tex]证明 : 若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的二阶零点,则[tex=17.5x2.857]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr831cpOdXPqGJb/lUfrVnKJYxHhxeTnsRON8p7IgNyhzMRKo1ms6m9O7lAs9A69QxQOslWFjZiJk0q7mtPa0mAYBF9j07uKX4+OEOg+oc79y2i46asilbs8ev6q+CBINjKXHtMRDaW3CLER1LLB8BUPIDs1qRpaPwTob/qN/XTku5T943Ir2MNbF33jWmRfJl11Wy11YoyplnlyZrjlAeZ7giR4r0A1jy+l4uV8ofAH1/0[/tex]
1
用 3 种方法(真值表法,等值演算法,主析取范式法)证明下面推理是正确的. 若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是奇数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 不能被 2 整除.若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是偶数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 能被 2 整除.因此,若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是偶数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]不是奇数.
2
证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的. 即若不恒为零的函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=4.429x1.357]Upi4w/Pu5hCRzRUSiyraqA==[/tex] 内解析,[tex=3.143x1.357]E5AUvOOYCnpTRWX493K7fQ==[/tex], 则必有 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的一个邻域,使得 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在其中无异于 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的零点(解析函数零点的孤立性).
3
若:(1)函数 f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数;(2)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]有导数;(3)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数及函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数,则函数[tex=5.643x1.357]GmtX7Vop79exGU/rpqXUYw==[/tex]在已知点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]的可微性怎样?
4
设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 满足下列条件之一:(1) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级零点;(2) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级极点;(3) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的可去奇点或极点, [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的本性奇点.试问 [tex=4.286x1.357]fEUqjS2iSmIaw7xo84hiOA==[/tex], [tex=3.786x1.357]8xSpETy0xp3zi/DyKlE2JYcMVtZiIW/zWVp1o+kohj8=[/tex] 和 [tex=2.0x2.714]bqbhhTd1KTztb29Xnmsth/3LqSU37V6r9jFMyLGNE6g=[/tex] 在点 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 各具有什么性质.