若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，[tex=4.714x1.5]GxnzIbOEjULGUgOU4z4EaQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]为正整数)在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域内有界。试证：[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]阶的极点或可去奇点。

2022-07-23

若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，[tex=4.714x1.5]GxnzIbOEjULGUgOU4z4EaQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]为正整数)在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域内有界。试证：[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]阶的极点或可去奇点。

答案：

证明：(法一 )令[tex=7.214x1.5]xi1rz1OD9CGMg7aGVI/lhCOyThtfQZtJb/qbF0RygUA=[/tex]。由题设，[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在[tex=9.429x1.357]tmOmQW1Cl6deUmToP9FIcwu8FxxoykYl9hG8uwgC1ko=[/tex]内有界。因此，[tex=0.571x0.786]WLga5RWgrUta8vWDwROpYA==[/tex]为[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的可去奇点，则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的解析点。又若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]级极点，则在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的某去心邻域内能表成[tex=6.143x2.714]csEqEHRGGNwlWUYJB3h2O7heGHUOqe3ZTps0HAeC3wTDpBFLT/1hX6bNK9O0CJh7[/tex]，其中 [tex=1.857x1.357]WCms883ED1a8DZHn9ThkCA==[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 邻域内解析，且[tex=3.786x1.357]4R9kqq4gDIiy6C6FlRTp801kjnShPR/h760APz+Qr5I=[/tex]。若[tex=2.786x1.071]0Ug05QRxfZgFK6JcE8u1bQ==[/tex]，则[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]以[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=2.214x1.143]YckE9ujO4ZhpdEqocePXow==[/tex]级极点，与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的可去奇点矛盾，故[tex=2.786x1.143]5IgWImmZ6QMAYNYg39wIyg==[/tex]。另一方面若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的可去奇点，则[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]点仍解析。故题目也成立，综合有：[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]级的极点或可去奇点。(法二)由题意，定义函数[tex=7.214x1.5]xi1rz1OD9CGMg7aGVI/lhEN6Uv6Cm8nvpLrNaz9oo3I=[/tex]，其中[tex=6.286x1.357]eosi5LHe2y6JTxY/f3Ou6A==[/tex]内解析[tex=1.0x0.643]bMRrINhuwlMbjrHDeWypogdkWGb3ojVpD4vc6TFnQGs=[/tex]在[tex=6.286x1.357]eosi5LHe2y6JTxY/f3Ou6A==[/tex]内[tex=8.929x3.286]/S6tqW7uDPyvHOgwK45ZN64FVG43LXV4lODWUgLQJdmBGPH0J4UaXItNRsiXbq8u[/tex]，其中[tex=12.357x2.786]ao3vqdohw9+wIO+XyKfFdjEIUNBjutPm0G+EmaFJLvvT15aEAFSB6NMo6cXlU8vn5Ar+54TibcmHLNElY9Xafe3XlmgohaFdD9NEdtY4jCt0cA9gLwYKKLab0KAJfLeg[/tex]。再由[tex=4.5x1.357]6guDt3UqbQlpLvcxN14UKsFPLnsRjJliaA5Uo3ccEV8=[/tex] (有界)又知[tex=29.857x2.857]H9/vgVnvDBlbmTJMU5wD9IUIvOpnfX0aZMHUiOBiUSgZDjuzFazmEmq1qV2uNb47p1cLc6O17ERVBJohonKQYgZ08fx4r1b1f1+1eui/WDQGgcHBcAYFze1yUQrGhmp/xbiVctaCllDl/mHCD3pBhd5BEXOSLnYE7SUQzOi78e4JP2WyTX0o7oGYc9fz0UqR5HU/k9o4aAlC5jzu3Rmv3gOK3kBK6udRSzWujk/XSWQ=[/tex]，于是对于负幂数的系数[tex=7.286x1.357]/eCDsNFq/NwHXpV9I5ulgviAi92CjMpZLJGs/SQEmi8uPoIVlxBHcVvC3na0uxn8AGgBJW8NefGDGmroO12iEg==[/tex](当[tex=8.571x1.214]BYS5pwNZ/LlgT0sAhcRDrV+P/uCiy1xSy7yjZdY5v2Z/4X0UV1wh3sVbTf13u1jm[/tex])即[tex=8.714x1.357]FeL9LlYLiSqLQortmS310+5gvVHd/wh6X2y2FCaS4jY=[/tex]，从而[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的可去奇点，补充定义可使[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在[br][/br][tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]点解析。又因为[tex=5.929x2.714]kbGmISc1ovsW9OZLt1KaH1dZzoOrO3p8wTmqV+jDZDk=[/tex]，所以(i)当[tex=3.643x1.357]qe1LJNtMGeW8LpP0NuuSlw==[/tex]时，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]级极点。(ii)当[tex=23.214x1.571]56ad4gpRz93gsD51CXxliHthuRv1gDbx/Wzp462WZAK4K1jCu8Ocl5BftJkFN28OOW3QuvWT8eLzxo0D2mHQqulwABAulvP+DfpAwgjN33suRR2UgdWcpFMnrXkrwB+G[/tex]时，[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=1.643x1.143]SJHOuzIjZm5NcaKr8rO/3Q==[/tex]级极点。(iii)当[tex=11.857x1.571]MQrdheipIEup8xQs1llhuo6KyWmGC7HCV/ZdzKTOpbarqdl6LzAfIAagi2uBCYiL[/tex]时，[tex=0.571x0.786]hz7P+3ahssEMt4OXKXrhMw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的可去奇点(解析点)。

举一反三

内容

0
设[tex=5.929x1.071]gAFI4ZzNAmjFfJAphmTsRQ==[/tex]，若[tex=7.786x1.357]09fTpcwFMVcu1qrv9hyVbjaVP6Nu0Q7b0o9JCaEhfzk=[/tex]，[tex=7.786x1.357]17Fg+KbtgLZdNaerla1J+g==[/tex]，[tex=7.714x1.357]GzWWzGNDry0+/hdju2Gv5Q==[/tex]，那么[tex=0.571x0.786]/uIIzJZ/1DPgc5sOsRpAXQ==[/tex]，[tex=0.571x1.0]Tr41q2//n6lfFMLRmh8s0w==[/tex]，[tex=0.5x0.786]rGd4FFr4Zsu+cuz6gxITMA==[/tex]的大小关系为 A: x<y<Z B: y<z<x C: z<x<y D: z<y<x E: 不能确定
1
证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的. 即若不恒为零的函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在 [tex=4.429x1.357]Upi4w/Pu5hCRzRUSiyraqA==[/tex] 内解析,[tex=3.143x1.357]E5AUvOOYCnpTRWX493K7fQ==[/tex], 则必有 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的一个邻域,使得 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在其中无异于 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的零点(解析函数零点的孤立性).
2
设函数[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]解析，试证：(1)函数[tex=12.929x4.5]q2S0D0+eu5is3kG/mEUjHSlNB1bZoFlUTgWeVFDXvs06CW5UcDwYb2/+XahQG1kodiyblpTMvl/G3aW6dwKqZ/FFdvdZYC3cGrj8wGMcTh5OUY27gwkCMhA1lM8RuEw7dm5H3ul0pIGgsDknUCN43rwTTYqIWYXtWCDzdYu7QAM=[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]也解析；(2)函数[tex=12.857x4.357]xpGDzxuVmPETrl3cOmxwj4CSvDYDMj2vKWj/lrsyP3VnzctzHAug3OfZH8sWN47JjYVfSgDer22UeZMJF1t0JYJk/gq1v9JWh8uBwrVutbDPCjhvUILVOMI8cIbgJByo8MNwvqO87w7UDx/zRbnV/A==[/tex]也是一个整函数。
3
用 3 种方法(真值表法,等值演算法,主析取范式法)证明下面推理是正确的. 若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是奇数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 不能被 2 整除.若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是偶数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 能被 2 整除.因此,若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是偶数,则 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]不是奇数.
4
若:(1)函数 f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数;(2)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]有导数;(3)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数及函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数,则函数[tex=5.643x1.357]GmtX7Vop79exGU/rpqXUYw==[/tex]在已知点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]的可微性怎样?