试证：若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶极点的充要条件是[tex=11.571x1.786]W32sAnBVTFCb/DNAPllLWBJ5Vfenh1rPw/r51R/fywF4R7BIB+VGBWJTQT+YTx9XKyos0BwuKiKM5jIghtTTDw==[/tex]，其中[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]是正整数.

2022-07-24

试证：若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶极点的充要条件是[tex=11.571x1.786]W32sAnBVTFCb/DNAPllLWBJ5Vfenh1rPw/r51R/fywF4R7BIB+VGBWJTQT+YTx9XKyos0BwuKiKM5jIghtTTDw==[/tex]，其中[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]是正整数.

答案：

证明：易知[tex=6.143x2.714]csEqEHRGGNwlWUYJB3h2O7heGHUOqe3ZTps0HAeC3wTDpBFLT/1hX6bNK9O0CJh7[/tex]，其中[tex=1.857x1.357]WCms883ED1a8DZHn9ThkCA==[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]邻域内解析，且[tex=3.786x1.357]4R9kqq4gDIiy6C6FlRTp8yOUx9Rtf8zdPfrHIAUq1Uc=[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]以[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶极点的特征，则[tex=21.571x2.714]W32sAnBVTFCb/DNAPllLWBJ5Vfenh1rPw/r51R/fywGIGgSxbbzi8sMO/0+KYyl38pFAU24wJ8ssuSFCoCABQEXvq94D5Si6P87exLC0td4qkSJtLrqU8txMx5tvBpYSoQiQAfGvyd9vanaiSND9S8kpD+It9cdpg3Vzlqcj/Q0=[/tex]。

举一反三

内容

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设函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 满足下列条件之一:(1) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级零点;(2) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 分别是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 和 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级和 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 级极点;(3) [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的可去奇点或极点, [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 的本性奇点.试问 [tex=4.286x1.357]fEUqjS2iSmIaw7xo84hiOA==[/tex], [tex=3.786x1.357]8xSpETy0xp3zi/DyKlE2JYcMVtZiIW/zWVp1o+kohj8=[/tex] 和 [tex=2.0x2.714]bqbhhTd1KTztb29Xnmsth/3LqSU37V6r9jFMyLGNE6g=[/tex] 在点 [tex=0.857x1.0]KInWOYOIU+u9wjpJut/pOQ==[/tex] 各具有什么性质.
1
若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的孤立奇点, [tex=4.714x1.5]GxnzIbOEjULGUgOU4z4EaQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]为正整数 )在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域内有界,试证 :[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]阶的极点或可去奇点. 分析令 [tex=7.214x1.5]xi1rz1OD9CGMg7aGVI/lhEN6Uv6Cm8nvpLrNaz9oo3I=[/tex], 则 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域[tex=6.286x1.357]sdzi9pJTMwN7vslxevt4mg==[/tex]内解析且有界[tex=4.071x1.357]6guDt3UqbQlpLvcxN14UKoKU/FXe1MkGWlgM+pw9Y4M=[/tex](常数) .我们知道洛朗级数是研究函数孤立奇点的主要工具, 对于此题可利用洛朗定理讨论.
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[br][/br]设 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 是大于 1 的整数,证明不大于 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 且与 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 互素的所有正整数之和为 [tex=4.357x2.357]sjK4NrbKWB0OUoVSqml3orVuMxOKsDVzHVIS7pFHk1g=[/tex]
3
设[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的令域内解析并且[tex=3.643x1.286]34y+EoEx1EWnBn3zBaG1Btxx65bXyzet52Gp0rjE6WU=[/tex]证明 : 若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的二阶零点,则[tex=17.5x2.857]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr831cpOdXPqGJb/lUfrVnKJYxHhxeTnsRON8p7IgNyhzMRKo1ms6m9O7lAs9A69QxQOslWFjZiJk0q7mtPa0mAYBF9j07uKX4+OEOg+oc79y2i46asilbs8ev6q+CBINjKXHtMRDaW3CLER1LLB8BUPIDs1qRpaPwTob/qN/XTku5T943Ir2MNbF33jWmRfJl11Wy11YoyplnlyZrjlAeZ7giR4r0A1jy+l4uV8ofAH1/0[/tex]
4
设 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 在单位圆 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 内解析,如果原点是函数 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 级零点,并且 [tex=7.786x1.357]xo1a9707TLvKJs440R8jQDpeL1pvBylUMxt0PbY2Z2E=[/tex], 证明在 [tex=2.857x1.357]W2UvKR01GUJgbq0KdXYJYQ==[/tex] 内恒有 [tex=5.714x1.357]ZhxLb4tGirvvU9aDFRRDeW4UQoF9lxRb61JytoKygDw=[/tex] Schwarz 引理 ) .