若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的孤立奇点, [tex=4.714x1.5]GxnzIbOEjULGUgOU4z4EaQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]为正整数 )在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域内有界,试证 :[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]阶的极点或可去奇点. 分析 令 [tex=7.214x1.5]xi1rz1OD9CGMg7aGVI/lhEN6Uv6Cm8nvpLrNaz9oo3I=[/tex], 则 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域[tex=6.286x1.357]sdzi9pJTMwN7vslxevt4mg==[/tex]内解析且有界[tex=4.071x1.357]6guDt3UqbQlpLvcxN14UKoKU/FXe1MkGWlgM+pw9Y4M=[/tex](常数) .我们知道洛朗级数是研究函数孤立奇点的主要工具, 对于此题可利用洛朗定理 讨论.
举一反三
- 若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，[tex=4.714x1.5]GxnzIbOEjULGUgOU4z4EaQ==[/tex]([tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]为正整数)在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的去心邻域内有界。试证：[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的不高于[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]阶的极点或可去奇点。
- 若 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 为 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的孤点奇点, [tex=5.643x1.5]aidaS80SO+5HndBDUVs5HJ6G1Cq7RVWQeA9jfoASH98=[/tex] 为正整 数) 在点 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的去心邻域内有界，试证: [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 的不高于 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 级的极点或可去奇点.
- 试证：若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的单值性孤立奇点，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]为[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]的[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]阶极点的充要条件是[tex=11.571x1.786]W32sAnBVTFCb/DNAPllLWBJ5Vfenh1rPw/r51R/fywF4R7BIB+VGBWJTQT+YTx9XKyos0BwuKiKM5jIghtTTDw==[/tex]，其中[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]是正整数.
- 设[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的令域内解析并且[tex=3.643x1.286]34y+EoEx1EWnBn3zBaG1Btxx65bXyzet52Gp0rjE6WU=[/tex]证明 : 若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的二阶零点,则[tex=17.5x2.857]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr831cpOdXPqGJb/lUfrVnKJYxHhxeTnsRON8p7IgNyhzMRKo1ms6m9O7lAs9A69QxQOslWFjZiJk0q7mtPa0mAYBF9j07uKX4+OEOg+oc79y2i46asilbs8ev6q+CBINjKXHtMRDaW3CLER1LLB8BUPIDs1qRpaPwTob/qN/XTku5T943Ir2MNbF33jWmRfJl11Wy11YoyplnlyZrjlAeZ7giR4r0A1jy+l4uV8ofAH1/0[/tex]
- 设[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex] 与 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex] 在点[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的令域内解析并且[tex=3.643x1.286]34y+EoEx1EWnBn3zBaG1Btxx65bXyzet52Gp0rjE6WU=[/tex]证明 : 若[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]的简单零点,则[br][/br][tex=16.5x2.857]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr831cpOdXPqGJb/lUfrVnKJYxExQksKsn27MKRrDDa/tTYZjEbvGXgfnlidWlSdLgRjB4emxOvbp224RngwFL8Dgm8bLcyEVbqZCqskVLBmdJqr5eS/u0TCSZ17DQmibJzSqSx2Lor0+q4G5SoFbKNeTKCUXbekvg8JCZZVKJ7H7t2y4WpNewjaFemJFOeFNyWYg==[/tex]