试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的有界变差且连续的函数. 若对 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任一零测集 [tex=0.714x1.0]YEZ006Hwni4CHfhiGo7PZQ==[/tex],有 [tex=4.929x1.357]j3E5K1XnovebABusxSu2QQ==[/tex] (简称为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]具有零测性,或称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有性质[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] ),则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的绝对连续函数.
举一反三
- 证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
- 如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有界.
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
- 设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=7.357x1.357]uDZognCYe2c/zRuokcdW2HBjR3D/FFsKyFLSnT+mmSc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒正或恒负.
- 函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续是在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可导的