证明：若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续，且对任何[tex=3.071x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=3.714x1.286]VgLe0qw4dAI5uBnknp9bCOFzwtDsITrGVQ9OZlj0zNo=[/tex]则[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上恒正或恒负。
举一反三
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的有界变差且连续的函数. 若对 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中任一零测集 [tex=0.714x1.0]YEZ006Hwni4CHfhiGo7PZQ==[/tex],有 [tex=4.929x1.357]j3E5K1XnovebABusxSu2QQ==[/tex] (简称为[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]具有零测性,或称 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 具有性质[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] ),则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上的绝对连续函数.
- 若一元函数 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，令[tex=20.071x1.357]/rwdubLtLJNPC5bDZKMdplZs6vKwGLqlMxuvniBK++f00TF27V2iNVo2wLH9ZogrgP5pGzIyNj6RNMO0P9SOSfJJ9ec7N9tSZ9wao0B+mG4=[/tex]试讨论 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上是否连续? 是否一致连续?
- 设[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]定义在闭矩形[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上，如果[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]在[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]上处处连续，对[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]在[tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex](且关于[tex=2.0x1.357]SAl91p0eolpEKYGm1OHiFQ==[/tex]中任何[tex=0.786x1.286]nU+nrs3E2fr4zd4T9M4cog==[/tex])为一致连续。 证明：[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=4.857x1.357]5bV4pp2zYok4MNWGJLRzDh3KJPHhgyMqCfsOEOfUHtI=[/tex]上处处连续。
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]对任意[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]，[tex=2.5x1.286]EPSGJZaCuwY5xHx7jbphAw==[/tex]适合方程 [tex=8.286x1.357]NrfAfdVJZxj47IYGp0SatnPBpQm8CbV+z0k8TH8YZfo=[/tex]证明：（1）若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在一点[tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 处连续，则[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；（2） 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上单调，也有[tex=5.0x1.357]0vg1WFsquVdtGeGJnyVAbQ==[/tex]；
- 设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]上可微, 又有[tex=7.071x1.429]3HzpEI2F6SjlbUxfYjVYgJgfT1+SwcjAgoUdSxH+nHM=[/tex], 证明：存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex], 满足[tex=7.571x2.5]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRyhi7yg/mLi9vPEm3LrHmsy7z5WJBKchnI5ClA5RRRiTO[/tex]