举例说明当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为拓扑空间，[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为满足第一或第二可数性公理的空间时，映射空间[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex](紧致收敛的拓扑)可以不具有同一性质。

2022-06-08

举例说明当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为拓扑空间，[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为满足第一或第二可数性公理的空间时，映射空间[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex](紧致收敛的拓扑)可以不具有同一性质。

答案：

例：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为可数个点的紧致拓扑空间(例如平庸空间等等 )，[tex=0.786x1.0]lMw/CroRB7kCfWDSGzDmnQ==[/tex]为实空间[tex=0.786x1.0]59uVln8a2zRyv0n5hgPyQg==[/tex]。考虑映射空间[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex](紧致收敛的拓扑)，将[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的点排为[tex=5.571x1.0]bKUC97GbQKY2zeG3LTTxIVmpXx66CyAug6mIG+ncFGw=[/tex]，令[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]为[tex=4.0x1.357]wghERmUe0wiyQYyqpx80ruJLr6USsLvLIEYwWjHtBjE=[/tex]。下证在[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]处无可数局部基。假定[tex=4.286x1.357]iDxOCoW0ai7Q8QIYwRvbMKj+yYAJKargpj1Gu//FJ2bJZZKgB8CfQnlSnQkPbrP9[/tex]为[tex=0.714x1.214]OZevdH6uGNQxcBwPZQ11cg==[/tex]的可数局部基，对每一 [tex=1.143x1.214]KIxKf7j9e6/MZUtED3HrCg==[/tex]，有[tex=17.786x1.357]d6FymVdhnrP/uSsahq+2mD+51BIPQF3hSCvxemH0lUfOCS8a/rdguQRaOWLLlLc6WDJTso8EQrcUXvY+ItRVEnVA48j5NMOodytzFSILKdj7XcrBwRvsiPr483DvtpuNpfzV43tmTJO54t8FTB5c+A==[/tex]使得[tex=10.643x1.214]2ggegnIiFky3ZyeYE/ga0r3kGAd3T1+WROA+n4t0qJSiExEXbrfvw22Vk28tqIeVrIgtXdIIZVVxleVN5KCoGA==[/tex]，其中[tex=1.357x1.214]b2sM7xsxRhxdX0VSZGGdpQ==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的紧致子集，[tex=1.286x1.214]u5BTFg01sBOL42r4gcGI3Q==[/tex]是[tex=2.929x1.357]kdkxEUW/zyGXv0WubaLG9w==[/tex]中的开集。[tex=2.929x1.214]SMBXenKFwg6QsN/+fOjBEuSyqFGasUEHwvSH8RFBzrk=[/tex]。现取开区间[tex=4.0x1.357]tNLoGNe/mXTq+R+PMMAyh/Cnu6Q6C0y/OdWqhB/v+VyLX68sBOnMmpSzY4lt3qGIW9Ww1cE60O0po+EmddmyPw==[/tex]如下：若[tex=4.5x3.286]WSXKaov/+6kms+yaBe3VYZt0A1RVBwINfFywc8jnBisACTPAazwExMkQ9VKEVaa6[/tex]，令[tex=11.214x1.357]tNLoGNe/mXTq+R+PMMAyh6zYjJKeGB6aoULdGsC7n5ENXPhb17JCJT8zYt4y1lunMk/9Z13x69eWR3/Kskzg/g==[/tex]，若[tex=7.5x1.286]Vuzuod5fKyUcDtQZeOG8pAmLLxdsogXbZHNZlez+d+ovdNoKrNLvkAmqc8KhTUZt[/tex]中全部含[tex=1.0x1.0]21+hj4YY54jyWx7EkFGz2Q==[/tex]的集为[tex=5.786x1.357]7OIE9WM2xYSBf+699OX2UMU7RC3FBkEWMY0pxhcq2WnjppKbz/0iS33vDjgufD9e[/tex]，则取[tex=11.214x1.357]tNLoGNe/mXTq+R+PMMAyh6zYjJKeGB6aoULdGsC7n5EHQAR6MBcGCPnPinE8fBprHqL6u+COMXuq2eB0dTg3Ew==[/tex]，使[tex=7.0x3.357]6K38p5xb3PGStcyz6ydQGlWQP9erRXzi5L/SNRoowpptfYNKu7Ad7BGjXmpqJU/PsUYQCWlb8aDScZY6pADzfabDMALfE2itxilMLu2/WEA=[/tex]，这显然可以办到，于是对任一 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，[tex=13.143x3.357]Vkj7ITaW56m2oFR98mxhNly6364etUBvTG9cyGdDqo/96FOb6JK3RwborOgrjaN7mEnHfjKT4Sn4p2JGbr+QrHpO+r8FK9a490emewJEL+HlPmebTDRuyAcMZ9uj97mC8IRUcdU/FFJJxAsExbKCdYDJbGvMCwFIxeNltCJlCC/04p2CofI/EWY3H2ZcQB7g[/tex]则[tex=2.643x1.214]SK6ReqiPwW5ImkoPBlTz4gADlRGQcK+D7MkMM32CyQg=[/tex]，但[tex=2.286x1.214]3MsA0XDNn/ruYCZb/n6dD8a4ZuLWz86o9iKE8ve1h0c=[/tex]，即[tex=3.214x1.286]HGK8MIk5KXyO5NgQ15sqkH2iUkbzLxr8QlGCR7Ab0a4=[/tex]，从而[tex=9.714x1.214]TOIm2b/Owr7MTYIf/u2n7QTGu68H5xpd5d1g5Gwzxc3upN4MilBguDpI7+T/brPd[/tex]，故[tex=2.143x1.357]iDxOCoW0ai7Q8QIYwRvbMLthX78bxGJcrEBswDajns4=[/tex]不是[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]的局部基，矛盾。因此[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex]($紧致收敛的拓扑)不满足第一可数性公理，从而也满足第二可数性公理。

举一反三

内容

0
证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。
1
设[tex=2.071x1.214]ALf/tyqdFsvN4GUuyXnhwA==[/tex]为拓扑空间[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]为连续映射。证明若[tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的连通子集，则[tex=2.0x1.357]kfHtVfCJO3JYo5dbuIpcOQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]的连通子集。
2
令[tex=4.071x1.214]DaoI4syGJkcEzXKIf1y1z+uK7N569Lk1j+3a0Z0WPb8m+/JkZsBmsuKzqaBCyXFk[/tex]为以[tex=10.643x1.357]Wjf5Gq3FufUFome735HGTSqJbTuVGm/erk08yEnieys7TlM4L0kHgkgrjVUB5frLFVlqR3mU4YxhrW/kBhOPOQ==[/tex]为基的[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的拓扑。证明[tex=2.857x1.357]Ig/6B5YCU59XfmLw5qBTgqJ9dwknLkRlo9GiCHHIPBw=[/tex]是列紧空间但不是可数紧致，紧致，序列紧致空间。
3
拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为完全正规空间，如果对于任意[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，分别有[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]+cKqsXrOL8EHzUiohf2HQIyNXEIXsCVQo1bhoeZ3QmE=[/tex]。证明：拓扑空间是完全正规空间当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间。
4
证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。