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  • 2022-07-23
    证明本节定义的[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是除环但不是域.
    • 证明 设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是实数域[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的四维向量空间. 我们知道, [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]关于向量的加法"十"构成一个交换群. 下面我们来定义共上的一个乘法".", 使得[tex=3.571x1.357]TGwo2jRXw4ZUaMXg41tCGq7ZtiSi/SMNZix3tEyE7D0=[/tex] 是一个除环,但不是域.对于[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]中的任意向量[tex=9.214x2.929]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr7xNNv6AhwBF39LrLiMzY7TD0yMfclbsMNT7mAAjgRGCompHyxiP6SXND8BnYDvgfTwnZrxJBmYEX6LPtOWj4jt85MCMoJlAnt0HCRKqWfX+dGaTcyVeSzs1MCQ4yVN/KA==[/tex]我们定义[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]与 [tex=0.5x0.786]pmD1JbahT9zMRAbBNi045A==[/tex] 的乘积为：[tex=23.929x3.071]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtrzTCtLdqD1R+JWw5H24DthFiyafRn6i4lu5gy7wZjPWbDLWHpGfFBkkjvznyejqGnqGZbRHsqTDiJ+nSey84brW17wht34T372OZ0zs783PZo/KJVq3Bji0qGtbcM+P8CB7OcIxRa6lQC8jkWnHrUWwekUDgdOzP4keWq5wXwMI/lRcTgzUI5x/aAzvJDL8FnjCDutAtC09gsz23hNBfY46FfcG4L2QEym2CzakXkD5rBb9lkIJ3d2NMV/yv7F/fT3WemeF/plEdpfNO5umR6rwcref/SszDHs5dONPoGJHaNfXyEg9B69i6jsDNlBK4FxcKKed4YTCsa4o++/FGbkfqzTYhd0b4jRycTtm4r9x6YdMpGaEUTVGtnINjxxNXUQ==[/tex]容易验证,我们定义的乘法"."适合结合律,并且对于加法"十"适合分配律. 因此[tex=3.571x1.357]TGwo2jRXw4ZUaMXg41tCGq7ZtiSi/SMNZix3tEyE7D0=[/tex]是一个环. 此外, 易见,[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex] 是环[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]的单位元;[tex=3.143x1.214]hU+NMBGva3mGAt4ocTIMyw==[/tex]这四个元素中两两相乘的结果如下表所示：[tex=9.929x6.929]I08GkjPu5ilZ1cL3oVOjROvAfeDUalB11ixL4Nf3qb57IeDvuo9B4xfLxVed+LiuV43W7Co3+9kbRJ8BQ5JhBXLd2hiiez1YKhINp3ub9KGBsjgUwh3ZEMl+IpEYj1nbCvwUoYuC8S4kKkdbgDJ+X6+NRhf7wrfCsLODrb/lpN2pk+UBn4NxoX5eaPIQCy+7dSeq5QaQUGt3/LAFTwfGA6QaCXxZZaFa8jOUAivah+tdlhhNI0+ap2OXcfP6MFmVz/HpVfdTd+RTEUCk7bfXyg==[/tex]由此可见, 环 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是非交换环. 再考察任意的[tex=4.643x1.357]uWZP68JyAygoNprJ8HmJlkrkAdHIKerZsHxxf/piPio=[/tex]设[tex=9.286x1.214]aF8Y8R/jUnjspacEPygzI2zsrPHIDjLl/zxLZL59HtiFYhXP9GYk/ZPpacIvszDJ[/tex]令[tex=11.214x2.143]I0uqo6pYQS7hs5BV7SyLjoLHHGbNjKHEzk6V1shCjZceliUas/cTOLUt5TXJdNNvQ7vyt2wfBeKAPDt+3N/wOfC77mTl7ARXIZ4pi12ES9pK7baEljsgLEVlkc0DbK4BkYiiUymHmy3eUg4ALuNOFg==[/tex]其中[tex=7.929x1.5]7+kELaWWwOG3T2g14qZM0TZyLoqRPVSkUdI8WmucPHEbgLK1jjtrYawVNHlZRctq2N7wdFbMnUIFTZALkPdxAA==[/tex]由直接演算可知, [tex=4.143x0.786]FIqdSa3+ztgOKSfqOVAfNg==[/tex], 从而,[tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex]可逆. 由此可见，环[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是除环, 但不是域.
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    举一反三

    内容

    • 0

      设 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的固定元素，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与群 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex]同构 。

    • 1

      设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]的指数为[tex=0.643x0.786]h6IfGOxBlahC8le5jX4WiA==[/tex]，证明[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]中包含[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个正规子群 [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]且[tex=4.714x1.357]LSBY9QklY9u2L9/QUilFW4M3NvE4IIJ9caTgMo3kWgo=[/tex]。

    • 2

      设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是循环群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群, 证明: [tex=2.143x1.357]ioWgLJUkMq33E11rZv2NYg==[/tex] 也是循环群.

    • 3

      设 [tex=23.286x1.357]TtNDrRahehnchGQDrDvkDviYdfKbaHF6UGvIUhfE+H8fphUl4ETL3+6mzUEY0ltbwOM0+raAP+o4e174eK5eBbTpvOMN4MSTMb3Rb8M6L+Q=[/tex] 。 证明: 加法群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 与 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]同构。

    • 4

      设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是一个阶大于 1 且有单位元的整环. 证明:[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是域[tex=4.0x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRx7cgRe+SgMjQ43a7vcN8TVo=[/tex]是主理想整环.