证明：如果[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是对称正定阵，则[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]也是对称正定阵。

2022-07-27

证明：如果[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是对称正定阵，则[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]也是对称正定阵。

答案：

证明：因[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是对称正定阵，故它的特征值[tex=0.857x1.286]l5zT5QhxbzTVBgev4SAIeV7tVq9hrO4gvVpPAptbPso=[/tex]全大于0，[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]的 特征值[tex=1.571x1.286]A+m7J10KsnXj3YSPg7ot4fRLy6cJq6Ddlf8sCgUQ3d0=[/tex]也全大于0。又[tex=10.857x1.429]EffMcHCXSuzpFoapHcBQaccnYDVHZorpS9nJSqtvaqAZpaYPMo+SPZOEhv8eTgg+f5Z0UkU+Pfgdv/hHC017zFAldaXy04uhHJWPSeRw5U0=[/tex]故[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]是对称正定矩阵。

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为对称矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是可逆矩阵，试证：[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]也是对称矩阵．
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证明：若矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]正定，则矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex] 的主对角线元素全大于零。
2
证明性质7.4.1：设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则（1）[tex=1.286x1.286]I/09VlJojFBZQlWpvi/KHQ==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意正实数。（2）[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]为正定矩阵。（3）[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的伴随矩阵[tex=1.143x1.286]5WX0zEPSvFFLZ40WpRWDWQ==[/tex]为正定矩阵。（4）[tex=1.214x1.286]861032IuvLpLlBDX6HDk6Q==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]为任意整数。（5）[tex=2.929x1.286]IEeTi5VuX3RXkozn+jPFyg==[/tex]为正定矩阵，其中[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]为可逆实矩阵。
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实反对称矩阵，证明[tex=3.143x1.286]74sXWPzy2V6V4XDe8D+g8A==[/tex]为正定矩阵．
4
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为对称矩阵，证明[tex=3.0x1.286]+Kuu2eFUus2l0EouIu5RjNd8NcgWY09erbUFzkPnuyk=[/tex]也是对称矩阵。