证明：若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]也是正定矩阵．

2022-06-16

证明：若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，则[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]也是正定矩阵．

答案：

分析：利用上述第2题说明中的实对称矩阵正定的充分必要条件证明．证：方法1：因为[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]正定，故[tex=3.286x1.286]UUL84HwZCEzMrwlwzWAXk214/iW5NgrSbybNqwsBfB4=[/tex]，即存在可逆矩阵[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，使得[tex=5.143x1.286]ONajDq9rQddoA050NxWFCcY71kycizEq+LsdpUmj3Fs=[/tex]，等式两边求逆得[tex=7.857x1.429]KI4Lpd6BPnWCy1h9XrcmRIldoAocR1WFTCepEo5oQczjl5fJMQVXjSyfyp2YqLeJuBJosOB2GdjuVjCRyU24UQ==[/tex][tex=7.857x1.429]Lq77SvddKlViW2JGgvjIdbYNeYeq2CDLBtzSOcaH1nMJUmGBdeVWTCEC1xfa/GJleiuF+/PvQGxUJbDJx2V7Uw==[/tex][tex=2.286x1.286]IBrQWF+yXaBk4a218tV+zA==[/tex]，即[tex=4.286x1.286]+qzK2Fym8iUz66dMvt0hTSCiRgeRt6zvGcW3hoLDsmc=[/tex]，因此[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]是正定的．方法2：因为[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]正定，故存在可逆矩阵[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，使得[tex=4.0x1.286]oTq/o5KsI2IlS0GwW+UDpechBPLdJma5gWs7tfWZUO4=[/tex]，于是[tex=8.071x1.429]kLOTsEn2vloRiWDXVOIfxZV+OQa4xsG20rZJaaiyyl4WnMpGM7gNziPoTWlS5FsbGdBW60dfAw953cMjSqejkQ==[/tex]，即[tex=8.071x1.429]kLOTsEn2vloRiWDXVOIfxQz7YNcXI217fDsneFsrNmQkEa50vrx+s8vYDJiJmg5JP6V9Jcv9N/6S320MkVYScg==[/tex]，因此[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]也正定．方法3：因为[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]正定，故[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值[tex=1.0x1.286]Dh9aC9ljs+LcuOKN0QxEuejUxsIwpLapA6P2aNIbyb4=[/tex]，[tex=1.0x1.286]lOgz3YB3DqxBfxKtK/X9I5XacRCF/sKdFDTi3J4GdW8=[/tex]，[tex=1.143x1.286]PZ3wc82RrbgX5KwVcyJcmA==[/tex]，[tex=1.071x1.286]sDo7eqw0QfvizHA4RpIPo4in97mGPabp5RniS5+PAgM=[/tex]皆大于零，故[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]的特征值[tex=1.571x1.286]+0TjY6p6hAM+r6g1Z05bsh/byQ2/5bbvSX7Oc7ws3Ng=[/tex]，[tex=1.571x1.286]zmJGbNpMTr56/1qTapNxk8TfQuSRbvIJHnvTKivDfTk=[/tex]，[tex=1.143x1.286]PZ3wc82RrbgX5KwVcyJcmA==[/tex]，[tex=1.571x1.286]zcOiyO91v+TDgVAiXbPIV6/Ptju0yLNJ5j7bm0vfwX0=[/tex]也都大于零，因此[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]正定．方法4：因为[tex=3.429x1.286]nOg6Z5rg9CZGuRgytsiq3heBuoKXW4L14LSyrSJwOH4=[/tex]，故[tex=5.929x1.286]Nne+/aGS5mEJRM9QuI2LzUs+BF9vl6O3evgND3Olkp0=[/tex]，即[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]合同于[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，由假设，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是正定矩阵，所以[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]是正定矩阵．．

举一反三

内容

0
证明：如果[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是对称正定阵，则[tex=1.714x1.286]RoH3pfa11TceghMPpnfqAw==[/tex]也是对称正定阵。
1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，证明[tex=2.714x1.286]HqIzVk/FgrqCQ/miBSp3sA==[/tex]是正定矩阵．
2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，且[tex=3.429x1.286]oa61inl1+LWYn4jx2H4IEA==[/tex]，证明[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]合同于[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]．
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，证明存在[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，使得[tex=3.214x1.286]2JS6BJRrTSeJjobiUCqEXA==[/tex]．
4
设 3 阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的特征值互不相同，若行列式[tex=3.071x1.286]FYCnFYQQa8C3I+O2sfSSGA==[/tex], 则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的秩为 A: 0 B: 1 C: 2 D: 3