设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为可分希尔伯特空间，[tex=1.714x1.357]2ggttl82OjjCcOvfU/Jv0sg+6CHJqONY6+UJ9bThMuM=[/tex]是[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的完备标准直交系，[tex=3.786x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jY2nwzBQ72WtvcIDxjSKq+A=[/tex]，试求出[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的一般形式。
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为希尔伯特空间，[tex=3.786x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jY2nwzBQ72WtvcIDxjSKq+A=[/tex]， 试证明(i) 若[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]紧，且[tex=4.714x1.214]kHdCSN3Ke9eVeSAZruN1qvHSdU+R73T+Yu2TuWOauEA=[/tex]，则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是紧算子;( ii) 若存在常数[tex=2.286x1.071]dIn6Fdkzkr+5rjIy4Lq1xA==[/tex]，使得对一切[tex=2.071x1.071]xwU6p18LdNm0w7k8Meh1NA==[/tex]有[tex=5.5x1.357]e8pmJSOQmtlpnhIkbtMzli1Ss4YiplG2YaoKOTzeVK8=[/tex]，则[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]不是紧算子。
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为希尔伯特空间，[tex=5.357x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jcGPsWfaAwOZsAgnlzsCAZg=[/tex]为[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的希尔伯特共轭算子，证明[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为紧算子的充分必要条件是[tex=1.714x1.071]DboUdCJehr/B2VurdmfBFQ==[/tex]为紧算子。
- 设[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中的有界线性算子，且[tex=3.429x1.357]Z5GIicx/68bK45nU5jMiYpwu8wcLZ8SkI6puFlr0+7U=[/tex]，证明[tex=10.214x1.357]s9VTo0PJX+4nKQNKwSyjO7Eis3RnHMme4jptpqvG6vGSCLkyUe424oOWjX9qK5qE[/tex]
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]矩阵[tex=5.0x1.357]H7SDmNgtZd7dNv+vHXA0GeG4RTIHoWUo36gVzB+CYOY=[/tex][tex=16.571x4.5]D21vQN3vgKRjnD964VQ2x7eq7eqbunio9bCeoh+r05KfjexPVVPWczALL5zDDG7EkL2ZQBW4FX3gbbXtlfsvXKZn3nBozbas9pNJFZjf7eASDWTkbN+ck+EqxBMKD7ojCA1TO+4RczY4ZJ5KHTZEYF0zkawTSnoH2sj1RRIdn2yw05b4ONL43u6oSEzvka2hb09dOldTJKZ3nXlIAO06tW5oDJjlwFjA3kz8XpAxssEqH0FdZk9NfJRLCtXBpQub8EbEjQZ4Rwygs6whn87sF09P94DV3OZcnlcw0ZJRc2IEBoqir77OgrPds3HP33VM[/tex]试求一[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]rN84CqmtCk5MRAP5g+8tJQ==[/tex] 为对角矩阵．
- 设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]是希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的子空间[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]上的有界线性泛函，则[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]在[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]上存在惟一的延拓[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]，适合[tex=4.5x1.357]VIByYaqQdUC/a0Xwk7BlPA==[/tex]