举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为希尔伯特空间，[tex=3.786x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jY2nwzBQ72WtvcIDxjSKq+A=[/tex]， 试证明(i) 若[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]紧，且[tex=4.714x1.214]kHdCSN3Ke9eVeSAZruN1qvHSdU+R73T+Yu2TuWOauEA=[/tex]，则[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是紧算子;( ii) 若存在常数[tex=2.286x1.071]dIn6Fdkzkr+5rjIy4Lq1xA==[/tex]，使得对一切[tex=2.071x1.071]xwU6p18LdNm0w7k8Meh1NA==[/tex]有[tex=5.5x1.357]e8pmJSOQmtlpnhIkbtMzli1Ss4YiplG2YaoKOTzeVK8=[/tex]，则[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]不是紧算子。
- 设[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为希尔伯特空间[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]中的有界线性算子，且[tex=3.429x1.357]Z5GIicx/68bK45nU5jMiYpwu8wcLZ8SkI6puFlr0+7U=[/tex]，证明[tex=10.214x1.357]s9VTo0PJX+4nKQNKwSyjO7Eis3RnHMme4jptpqvG6vGSCLkyUe424oOWjX9qK5qE[/tex]
- 有界线性算子[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]称为正规的，是指[tex=4.214x1.071]UNnkA2acWFcRogQAYMJgqA==[/tex]。证明当[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为正规算子时，[tex=6.071x1.571]KBvibveoogSXtGz8MffPIGwA2QV3Uh00hvihOLifuzDtr+9TeUKLOuynWCETiFzT[/tex]
- [tex=0.429x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为正规算子的充分必要条件是[tex=0.429x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]可表为[tex=4.357x1.214]wcLs5t0KnfV/NYvwYH0QU5xUWXgRxpYClJ7iSQdBLdQ=[/tex]， 其中[tex=2.214x1.214]it8FwiX94biFBaLn44aobQ==[/tex]为可换自伴算子。
- 设[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为赋范线性空间[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]中的有界线性算子，试证明[tex=6.857x2.286]WhNvqi8F1VIMeKnLp0fNIoZcM/FnBcVdKu7qhG+qbdw=[/tex]
内容
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设[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]为可分希尔伯特空间，[tex=1.714x1.357]2ggttl82OjjCcOvfU/Jv0sg+6CHJqONY6+UJ9bThMuM=[/tex]是[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]的完备标准直交系，[tex=3.786x1.357]If06r+kP9vuOFsrER2O4jY2nwzBQ72WtvcIDxjSKq+A=[/tex]，试求出[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的一般形式。
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设[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 为[tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]上正常算子 [tex=4.286x1.214]AFyvUm8khRRS3mDqf83Wrw==[/tex] 为 [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 的笛卡尔分解,证明 : [tex=7.143x1.571]Iu3TFh/FXBXGRUb99yhy9zrEGn7UXZuV7FzmZaO5ZHdV5SDBGAjw4atLmtxxL+vP[/tex]
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设 [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 为[tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 上正常算子 为[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex] 的笛卡尔分解,证明 :[tex=5.143x1.571]x9wKpvU10E+T/NP1C/Wc1BaKWbTkvexJKc3Q///yoF6yLKSWLfRztyUQP/HoY+WN[/tex].
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设[tex=1.714x1.214]9ikpIeQlx6jFxVpULl5CQQ==[/tex]是赋范线性空间，[tex=3.286x1.0]AgvT20i3WTv9ApZQh3jIgB1L6P+XUcE0vpU6V3rhj2A=[/tex]为闭线性算子， 试证明(1)设[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]为[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]中的紧集，则像[tex=1.357x1.0]hVMRB0EuEKoyAlFH69fTgA==[/tex]是[tex=0.643x1.0]O+viFNA0oHTwnBtQyi80Zw==[/tex]中的闭集
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设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是复平面上一有界无穷闭集，[tex=8.357x1.357]m54THDT91rm3OcgEjuCJ6ra+DGiBVNAxEuvXKQ2dszQgU78HpwZX294NMU8M4Sce[/tex]为[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]的一个稠密子集，在[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]中定义算子[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]如下[tex=12.643x1.357]y1kghgGeI4olpc0ZoMHSR2z6BTPu+VSAQLLTfSwPmxFt2eokQLt/C/V4tfgqiC7hMFQVVQX4/zt86U8N/KnBUdL3BNMJZc1aWxxPaB6m0Sk=[/tex]，则每个[tex=1.071x1.0]MiOEWAWMQGB5Un4f6a1T9Q==[/tex]是[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的特征值，[tex=7.357x1.357]74K+EuNJlpEBMVK3mci7FZ+yk0LSonRNXd8iFV25eqMBqy7sq0TSIEljTiXXwlW1[/tex]中的每个点属于[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]的连续谱