设[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是无理数。证明:对于某个不超过[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的正整数[tex=0.429x1.214]adIpAOtu2Zm0WIyZC7drnQ==[/tex]，在[tex=1.0x1.214]IMezf7A7EqIbM6/JTLL5uQ==[/tex]与[tex=1.0x1.214]IMezf7A7EqIbM6/JTLL5uQ==[/tex]最近的整数之间的差的绝对值小于[tex=1.643x1.357]V3UaYs+IVB5RnzJ5EdMsiQ==[/tex].
举一反三
- 证明如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是整数且[tex=1.0x1.214]S08+KKG98HbrAJCN7f6pjg==[/tex]是奇数，则[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数。
- 证明对于每个正实数[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]，存在一个正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]使得[tex=3.286x1.071]tIthsYOGrDzHZZR97einAA==[/tex]
- 给出当[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数而[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是整数时，只用加法计算[tex=1.214x0.786]hQtbsuRWuv6lJKs6ClTDKA==[/tex]的递归算法。
- 下面的论证是否正确?这里假定要证明当[tex=1.0x1.214]Z5GZ0zNulrjGJKMFBGia4w==[/tex]是偶整数时[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是一个偶整数。假定[tex=1.0x1.214]Z5GZ0zNulrjGJKMFBGia4w==[/tex]是偶数，则存在某个整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]使[tex=2.786x1.214]hF3blrEgoTPjLZIeo6kdeA==[/tex]。令[tex=2.214x1.0]LxW66Ap6viACecgu0bj/wQ==[/tex],其中[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]是某个整数。这证明了[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是偶数。
- 下面的“证明”错在哪里?“定理”如果[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是实数，则[tex=1.0x1.214]cbJ6FMy5U1o431UmoPCwpw==[/tex]是正实数。“证明”令[tex=0.857x1.0]rEKpNtxe2g5BjOuuqHlSdw==[/tex]为“[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是正数”，[tex=0.857x1.0]2T0fdlSZutPzGA1HapWNSg==[/tex]为“[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是负数”，[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]为“[tex=1.0x1.214]cbJ6FMy5U1o431UmoPCwpw==[/tex]是正数”。要证明[tex=2.0x1.0]LXdn1N7FszIRO4ZxpsGvQA==[/tex]为真，注意当[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是正数时，[tex=1.0x1.214]cbJ6FMy5U1o431UmoPCwpw==[/tex]为正数，因为这是两个正数[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]和[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]的积。要证明[tex=2.357x1.0]R9VsDVKknphoBpRFtMw7rlixviYmfgOvDCURqfWXJbU=[/tex]，注意当[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]是负数时，[tex=1.0x1.214]cbJ6FMy5U1o431UmoPCwpw==[/tex]是正数，因为这是两个负数[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]和[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]的积。证毕。