设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上可积,[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上定义, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中除了有限个点之外,都有 [tex=4.5x1.357]g5nLB1f2rSsNKL5qY072JQ==[/tex] 证明 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积, 并且有[tex=10.286x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISeP5InpehyYXak28A033MDhXvTwEN9Hk0ozWBWZ0gGlFgyOpyoftjjpQw938qmEWdA==[/tex].[br][/br]

2022-05-27

设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上可积,[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上定义, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中除了有限个点之外,都有 [tex=4.5x1.357]g5nLB1f2rSsNKL5qY072JQ==[/tex] 证明 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积, 并且有[tex=10.286x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISeP5InpehyYXak28A033MDhXvTwEN9Hk0ozWBWZ0gGlFgyOpyoftjjpQw938qmEWdA==[/tex].[br][/br]

答案：

设仅在 [tex=8.357x1.357]XIzHW1XnXPDmI3Qc+4MYwEbzfadmBG/56XILejVmssI=[/tex] 处 [tex=5.0x1.357]BTdXNO3QT+WElPfohhU0kMTIF32o9FswgmrSXE3udpQ=[/tex], 对区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 作划分 : [tex=13.857x1.214]wIuurPBGHnXsM1+vRN9I5xVHYbwslxSr9ayHygpHqAJo9FkxxCu9zqPtxs5KFaU3[/tex], 任取 [tex=4.929x1.357]ly/1K6HlI+9Ja7znbbHdLTVMpqrUU0NcITsvaB2TuMPDj8McNNtZrpLBW8WHr1vw[/tex], 则 [tex=23.429x2.714]RfHbnCzZh6Sm4+QTHePHiFk3xfqUcVsimniHvNwagBKMQkiQTprlWLAmQxNupU1pI8t1n130hMFRqMWSReLKnXIkLI8VVoYW8SZU21bmC9/9jSCXraGM5iCZsHFJKMy8iiACbeO7SmJnRTIMIlxf5iKsnWxcNTssvSpx5OPtMzEBPBJ/bCoKLACkv4Nl6FbvC//CQ+Z8WkkQKovLzzZ4hNAJTNNqsAFQKa/IfL0oxATRdnMJeYK9+ObKnblD/Xf9[/tex], 其中 [tex=1.5x2.0]PT32q2bArJB5zg9rp7mPtA==[/tex]表示仅对含有 [tex=1.714x1.357]00aTd9D2SIo0G5ijWR1K05dkrFFMxuzqytejtlQfAzQ=[/tex] 中点的小区间(至多 [tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex] 个 ) 求和.记 [tex=7.0x2.143]Pk6ADuwcc73z3NZTl2DAjFWytEKP9NTX/pvEMe+XIGdc+xiS2WWaCtsY5sKw7jzO[/tex], [tex=10.286x2.143]4nMl04yeE9Ho0S5MLAwD50ygbxCKQEMVkiQLyUKqhhMTfN+EziBmrHlgd18VRAv7qgbqmUN5dK6FeP72VfLYXZ9zRercvz3DV84VJndk74w=[/tex], 取 [tex=7.0x2.429]NQFeevjdF3Rhc4cqA1ZuLYmi06Of2HMusUcE/X/2DpeJ8sXLM013TASDKCktXdqt7MaFUU4pb1EbCXG69726tg==[/tex], 则当 [tex=8.286x1.929]yz2HqgnaZGHcgvhEh1vMFKWEk0i94ABg9LkJJ4tMI+VXHIVxUZD6D7ZBa1lRJUJQ2NRo2bPfN3hV8pNDINwwlYjnLyJ/LFtHfm3X64RcIzixOrN+FUnJweNwux6enEBa[/tex] 时,[tex=12.143x1.786]wIFXYzIxaACT4c+9A4NUBdziTfuSUOWmnCmSxd6ZvEanQ9xmGnJ0hPJAzHpcQdwlww/8ykg78D/+qpVerijirdYkiV4BdICM2MOVn43mpyPqbRD3vj1j5dWYYMZ00SQ5L/vMGBZIlz3E/We06KtAJg==[/tex],所以由 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可积,可知 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 也可积, 且成立 [tex=10.286x2.857]7gcaGQKU+5R98xRnVkbRSNpDZHpizuproBwfzFmgZX/U2+9dMgLHQxCKa3gvkrLj[/tex].

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上连续,在 [tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导, [tex=5.857x1.357]/v/rbm8y94xQjBrlnxRxnA==[/tex] 又[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续. 证明 : 一定至少存在[tex=3.143x1.357]3v9HBq0lFtIDOP11f7lbPg==[/tex]使得[tex=6.5x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOlnSiyAS3oZDWEyWQ5Lx8fx4MchmEpw2xhyFVGP0Nayc[/tex]
1
如果 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上有界.
2
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=6.429x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGOROme7UMSqlNsxt5NS/Crc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]iavJqAznijPyoXL3RTXYGA==[/tex] 上恒为 0 .
3
试证明下列命题：设[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数, [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex] 上满足Lipschitz 条件. 则[tex=2.929x1.357]caiMPTPQ+q4cVnb/XIYcZA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上的绝对连续函数.
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.