证明:若函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]对变量[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是连续的(对每一个固定的值[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] )且有对变量 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]的有界的导数[tex=3.143x1.571]35NvkV3X2zf5DVZgRc62oyywINZEES0ctod/s79Rx9g=[/tex], 则此函数对变量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]和[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 的总体是连续的.

2022-07-24

证明:若函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]对变量[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是连续的(对每一个固定的值[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] )且有对变量 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]的有界的导数[tex=3.143x1.571]35NvkV3X2zf5DVZgRc62oyywINZEES0ctod/s79Rx9g=[/tex], 则此函数对变量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]和[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 的总体是连续的.

答案：

证 设[tex=4.143x1.357]Egqg5H2t6PgI6CSmOHASoA44UrTuEGNi4kxxH2Fw82WAv6zSfPu+ddTDRqh/zelo[/tex]是所论的开域 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中任一点. 取以 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex] 为中心的一个充分小的开球 [tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex], 使 [tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex] 完全含于[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 内. 设在 [tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex]内,有[tex=5.714x1.571]xZdiKJJMt/niPrrxV6aOHBkPqpY4/p8F5+54APw2M5usD72GZhd+RbHJc0wVS1Kl[/tex] .于是,当 [tex=6.071x1.429]CCztUETGEFAQs+Z/1ZcmGdOV6W8xrWXQw23szO0vyf2FXwPbB8Bj5NeSUU7NkyJ96wrLVAGww10rTswibWFTuA==[/tex]属于[tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex]时，有[p=align:center][tex=22.286x1.571]6efEJKyolHVGSBh/smh3NuxxsVqJWjrxKXqTtgOxaDDP3xgDygFsr+d149UpIb1VwuxhNXMPwM9a/7vyeu00xO+XQx/BzDL3Wr1hM/qJTpT6p8CtMiRVLXk/cwBgWtOWJ+GU6yAwswF3c54UwiCfALJ5LqEN8m1xLCCVRUvBer/cOL6zb873QBBQyUs7Y60ltmToxVSLpwedm7OnZ4btEXpi9HNSN55q++ldRMe5RauE0kl1avwM5AP5iOwXSUas3cwtRrwaTobDpTj3pCVOh8ODp1STYtMgaPg2vcV70IU=[/tex]其中[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex] 为介于[tex=2.0x1.357]nFMRkIwZ4tyYoUn5+LFAVo5KIQmsPALkewDS3uywU50=[/tex] 之间的一个数, 故 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 在 [tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex]中满足利普希茨条件. 因此,易知[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在[tex=1.143x1.214]4C/QlBlmMFE9cw0JXzleRQ==[/tex] 中连续,特别是在 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex]点连续. 由 [tex=1.0x1.214]QSpWrsvLbsISAe8gQyDfNg==[/tex] 点的任意性,即知 [tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]内连续,证毕.

举一反三

内容

0
若在受力物体内某点处,已测得 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 两方向均有线应变,试问在 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 两方向是否都必定有正应力?若测得仅 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 方向有线应变,则是否 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 方向必无正应力?若测得 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 方向均无线应变,则是否 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 方向都必无正应力?
1
证明:若函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex] 分别对每个变量[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]与[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]都连续,并对[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex] 是单调的，则函数[tex=2.643x1.357]g1Wo3ALRzTk0js5m9GO2sA==[/tex]连续。
2
残差平方和 [tex=2.0x1.0]BcKKlh1rk3wYJECWx38Gcg==[/tex] 反映了 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 的总变差中[input=type:blank,size:4][/input]。未知类型：{'options': ['\xa0\xa0由于\xa0[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]\xa0与\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0之间的线性关系引起的\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0的变化部分', '\xa0\xa0除了\xa0[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]\xa0对\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0的线性影响之外的其他因素对\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0变差的影响', '\xa0\xa0由于\xa0[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]\xa0与\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0之间的非线性关系引起的\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0的变化部分', '\xa0\xa0由于\xa0[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]\xa0与\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0之间的函数关系引起的\xa0[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]\xa0的变化部分'], 'type': 102}
3
证明: 函数[p=align:center][tex=14.429x4.5]3hRmRrUJOhe4GuvitGjZ3LCuDVr1Z6WdsUcr7PQPj2n2PEQl295x9Ihg5GZugf3wWt1UNDWdMe8reJt1TYuMxykmLA+/rrp0lW7/E/akZonUOEbyfne7Y0YMtEqmJwgMt4BDwmXISOH7mn68kQyvqM8wvhLMR6URvqbEKTZ/f1E=[/tex]分别对于每一个变量 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]或[tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex](当另一变量的值固定时)是连续的,但并非对这些变量的总体是连续的.
4
如果 [tex=6.714x1.5]RhXKcvTKCd5YPiBgpaZGh+doW3f6G39xorshaqZ6kHU=[/tex] 将 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex] 表示成 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 的函数.