设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间[tex=2.429x1.357]JefeGFBq9U1Q8Z1xviU2gg==[/tex]上连续，且 [tex=4.857x1.357]WelQ0YBB2sZ1i4L2bDghYg==[/tex], 证明: 在[tex=2.071x1.357]JxfzykJcJSp64kS4ayl/rA==[/tex]上至少存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex] ，使 [tex=6.071x1.357]Yf1tR62LlHfwkGBeQL6cxgvraDZigGGQjEy5kp/0U0Y=[/tex].

2022-07-23

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在区间[tex=2.429x1.357]JefeGFBq9U1Q8Z1xviU2gg==[/tex]上连续，且 [tex=4.857x1.357]WelQ0YBB2sZ1i4L2bDghYg==[/tex], 证明: 在[tex=2.071x1.357]JxfzykJcJSp64kS4ayl/rA==[/tex]上至少存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex] ，使 [tex=6.071x1.357]Yf1tR62LlHfwkGBeQL6cxgvraDZigGGQjEy5kp/0U0Y=[/tex].

答案：

设 [tex=8.429x1.357]E5JbBpFIdYv7JuruWmaXpGQcnqydJ7nQvyMI/E2R8G8=[/tex], 显然 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在 [tex=2.071x1.357]/jRCnEDg+77BnalTVEbF6A==[/tex]上连续，[tex=20.714x1.357]N9o7RGrr4NSz+7SwyyHzyqfiddyM7E/vgc2XdHA72Twb62oHPn8gFo5PHuB5v6lTK1EkbksfkVjEr8x9lQfN4A==[/tex],若 [tex=4.357x1.357]sVO3ytGDVBPujo+zqvzRTw==[/tex], 则 [tex=5.643x1.357]l2i+N4uJPv7fWq4ppgD4bg==[/tex], 即 [tex=1.786x1.214]EU5yfouSi1pnXTS24RsRzQ==[/tex]或 [tex=1.786x1.214]LSmFiAbKm13764gc9OhlxA==[/tex]. 若 [tex=4.929x1.357]ME5w4iCNMRLQhIlU5xReXg==[/tex], 则 [tex=5.714x1.357]5rfGdw9rHK0Rr7P/qKuHNSv6secGj8ziE4FBaqDpL7Y=[/tex] . 由零点定理知: [tex=3.786x1.357]qjEtD3vzPIRqrUhUutXCua3F7xQA1J4DsNHw5e/c3CA=[/tex]使 [tex=3.0x1.357]AN/oYuxJ18ZpzCargky68A==[/tex], 即 [tex=5.5x1.357]Yf1tR62LlHfwkGBeQL6cxgBKRGf8+eTrO1b5YdeCOCY=[/tex]. 综上可知, 结论正确.

举一反三

内容

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设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足罗尔定理的条件，且[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]不恒等于常数。证明:在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使[tex=3.929x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOv3CIhcqKJ5xaVCPhtFcBt8=[/tex]。
1
设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明至少存在一点[tex=3.643x1.357]lTsOOhJ85nTn3mrT2Mx0lw==[/tex]使[tex=6.286x1.429]JZ8spbP5y8lrG0FgeChLIS7LPAFOZNl0MwLjGUb1ZoE=[/tex]
2
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 均在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，而 [tex=2.429x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFqyq/RV3jccSxj4F/gfqSdMY=[/tex]在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在, [tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex] 且在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在点[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex], 使 [tex=3.571x1.357]Ae0+MLPjHrEQQfkynMVIuA==[/tex] 求证：在区间[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使得 [tex=4.071x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6pmbgnCr+Bs7EkXECfy+oM=[/tex]
3
设函数 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 上可导,证明在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex],使得[tex=16.357x3.357]TIwZYBkNsy31H1RNd/OloGwhon3PLsTPvn7sytr2L+uLAHYERxi/0oHfksb4/AEzUgrm650IFrAwf4M3g2sMJgsRqRDrTXfO4PHg8T3E2jPHC+RcbJxEN0TuCnJeiaqk2cHQo6UwUWDTn7J/KmXyM56rCnendRJ6vUsfe2Y42fscaUvJ9DCQ2587S0fTjnY2+mH0vn4eFSSTETk+Hq43FaCAor4+rQVp1oDl3CKXrMY=[/tex]
4
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.071x1.357]Xj1Zmexiv5yNCTyP2ooSLw==[/tex]上连续, 且设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.071x1.357]Xj1Zmexiv5yNCTyP2ooSLw==[/tex]上连续, 且[tex=14.857x2.643]uTVheQh2dc2rbhneiObaEhPKjUZaIgZi1jWVLI2LC5MkZLLRgGcRwpVh9Ivin72pZLB/buDb//kSHnquVAe6+A==[/tex]试证明: 在[tex=2.357x1.357]3g1gASVEgvrGYvpOmDP6DA==[/tex]内至少存在两个不同的点[tex=2.071x1.214]k3dlwc0wztDX6WaBeLxbid68pYhulrhOgGSiDBCCoiY=[/tex], 使[tex=6.857x1.357]56xwj6a9940OEiIJS6VcXEGnwXCCSKl0hFk44WJ0i/eaO0cbuMaGVLwctnfXAiv0[/tex]。