设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在闭区间[tex=2.786x1.357]NnFGXMGHoDtnxHWDnCGAww==[/tex]上具有三阶连续导数，且 [tex=3.857x1.357]oqVqog3gnPIgJ2/mDaTUTQ==[/tex]，[tex=2.929x1.357]vHbyR+toDBfJYf6MdhDATA==[/tex]，[tex=3.429x1.429]xSWttSOuBEU7cD0GvmAufLjXFL4xnQ5TteAId7cGDhc=[/tex]，证明在开区间[tex=3.0x1.357]bzPEcUvLA4PI9rTCrUAJtA==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使 [tex=3.714x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFqwZ5E8fwBuLaxPJjeQD6c4Nk2o+wAZUfRdVIMQuvHpLs[/tex].

2022-06-04

设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在闭区间[tex=2.786x1.357]NnFGXMGHoDtnxHWDnCGAww==[/tex]上具有三阶连续导数，且 [tex=3.857x1.357]oqVqog3gnPIgJ2/mDaTUTQ==[/tex]，[tex=2.929x1.357]vHbyR+toDBfJYf6MdhDATA==[/tex]，[tex=3.429x1.429]xSWttSOuBEU7cD0GvmAufLjXFL4xnQ5TteAId7cGDhc=[/tex]，证明在开区间[tex=3.0x1.357]bzPEcUvLA4PI9rTCrUAJtA==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使 [tex=3.714x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFqwZ5E8fwBuLaxPJjeQD6c4Nk2o+wAZUfRdVIMQuvHpLs[/tex].

答案：

分析  本题属证明[tex=7.714x1.571]hnZSIOUCzAgSimTTdl/bateYROFWUIxXpTz0+i4LvmI=[/tex]的命题，利用泰勒公式证明较方便.依题目所给条件[tex=3.429x1.429]pT/UR8b8n3pqCE1GhAilsfuTgw8sMZNk6fKhShN0Yxk=[/tex]，拟将[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在点[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处展开，且利用 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.643x1.143]Zvvbzn4rojhfFwIOYD5pHQ==[/tex]，[tex=0.5x1.0]78UzeqfSBK5BNixungMsUQ==[/tex]处的函数值得到相应关系式，同时利用[tex=2.571x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq2aY1BQth57kh94zfhSgaIs=[/tex]在闭区间上的连续性，即可得到所证结果.证 将[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]展开为二阶麦克劳林公式[tex=18.286x2.429]I3KXwSmFazpELmJ/cZVxmyLnYSs46Itv9cKQ1VDkxhLBr1Beb4TtUoIWQXeXhQDq09xTTfF4b8vHgRwQ2tCVpUZvPZaN1PE0cmdeM/mAogHEBDUNpgwUYT2YCPq6sD12EeGMUb9pvEbc/qcSbGeaYBtW03txA+WdmmPdeP7iXkM=[/tex]，[tex=0.5x1.0]KOb5Ullz7NaRdbcz2NarNg==[/tex]在[tex=0.5x1.0]XY6YYp8hrFkvsD3cyFa49A==[/tex]，[tex=0.571x0.786]yPNTqDbsbi+W1HJQhfGL3Q==[/tex]之间，[tex=3.0x1.357]Z0R/Ub96hMxQycBgIsJ5e55lEZ+PraGMBv1BAg+mlXk=[/tex]，取[tex=2.643x1.143]zT2NoPHqm8oWXH3Qf5JfEg==[/tex]与1，分别代入上式，有[tex=14.714x2.429]FL6pv0flpQTK0AZ7BdQsKEzrdw332uLuQAZbzgi06SNtEutTTvbg665/LmlAcc7Je8QXC20JWI/eCs+YvE7AUbJmVYwmE2993ikNoqDaECtqXG4RK+AHqgJegf5p78UnS4gWCoDi+0+4z426LjbqsA==[/tex]，[tex=5.071x1.357]ZQRuuhY4BZsC+GAgCwrpIB+asNJ1ZqJA3ChBX8jN7Kw=[/tex]，[tex=18.714x2.429]s0My+Y2yUnuGEdjzdhyTl9spLzTQscuGUdfM9bxdD43DDqnLclA/f0qMt/nASHYnDhwWr75pdZcIXgoYasrJ/zVLI2s5pL2GVgIGmOdoQ5m7U1jdXGJfXplxpAGLL954QCCvNqcwYuCe6mMoLCokveN2qFzWSOzi2EsczsPCgXY=[/tex]，以上两式相减，得[tex=8.714x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6Y0ADfKGdDjk3KnwEwOKhtp1deE+y+99e9KMNI/DkBS29fUoAEU+2LIF8kwxCS3P7RwjKh2u9YHLVr4gA4gapEBXNdiLG08BiqGqCJre8mGqd1DV18nMbvKv6a/AjSSpQ==[/tex].已知[tex=2.571x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq2aY1BQth57kh94zfhSgaIs=[/tex]在[tex=2.786x1.357]iNpjpyriz/zvGQtbcSWF0g==[/tex]上连续，故在[tex=2.786x1.357]iNpjpyriz/zvGQtbcSWF0g==[/tex]上有最大值[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]与最小值[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]，且[tex=7.143x1.429]qEjvhtFvMfm/OY6xOf0OJYyVPwk468NpsbB2bbmdnlHGsJXDzt9Wn3eY0p14XayPsF1isVZqFylMIJ8Q2xo8Ag==[/tex].所以[tex=13.214x2.357]hbJaGke50i13WtYO6nsgrLkFfRGfzl3aPV7uFYTv6i1HKg8UdTDKxlFwjQo0zTB8lCMDBZJMK96BgXien+1djzeUm5NDI6eyzpkXQCTSzbRC/eGgR5ik9ZJO37bCuIP1IfBYMFoMoCMxGksC1ulXQCiLY1ff6I/DPOj4sdrjTKp5WfAIFvRnOR1RCi3cj6V4cXAreAPYl9cuCIphjBJD/Q==[/tex]又由介值定理知，存在[tex=8.929x1.357]2w1Ss8Id0PT0ghMkHGLqnyx8ApxRivQWgYwlUo5FMWw5ek7ynkhbVRmqy6PMPghcmSlAAVvMf5grDlXZnrp+6Q==[/tex]，使[tex=13.571x2.357]o1NxfHFvh4pfuP8b7Vf/BP21O+HzFX8rsM/NMWLzxT6zcRQWwALict0F+clkGv/Rxr39Og6GW0D/IBxcmtGzL8QdJtWt8zYcQiZW2QpmrFlRSmwQ6udh0WqZoAvnh6E/0CRr3PMOioD1RkYOMb+mno9xtL3H7tkch9zm54Jiiwcc4pB9ltk98cdhLMLaXcP9HleYhRvdj5QwAop6619HLw==[/tex].

举一反三

内容

0
求函数[tex=3.286x1.429]kdT+eIE7CHPynuN6CaN40g==[/tex]（抛物线）隐函数的导数[tex=1.071x1.429]BUw1BPFU3fsJlAl/vt9M9w==[/tex]当x=2与y=4及当x=2与y=0时,[tex=0.786x1.357]Hq6bf3CacUy07X+VImUMaA==[/tex]等于什么?
1
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上有二阶导数，且[tex=6.5x1.357]5S4xlUpkq5eJyOyj4Clyl0p8Fr+Urpj4J1JOcj+U764=[/tex]。又[tex=7.286x1.357]T5zToaYoBY/FrTclpgquGLTV+/PlrVlmZRbJ/bh38Gc=[/tex]，那么在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使[tex=3.714x1.429]A9dlGGeUL4o3MzDbW52Ebs/wVwBo45EkTPAYdEL+KOA=[/tex]。
2
设函数[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足罗尔定理的条件，且[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]不恒等于常数。证明:在[tex=2.214x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex]，使[tex=3.929x1.429]aWJWVBG3St35JwVMiGniOv3CIhcqKJ5xaVCPhtFcBt8=[/tex]。
3
若:(1)函数 f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数;(2)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数,而函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]有导数;(3)函数f(x)在点[tex=3.714x1.357]7VByCIzkNySq3s2l9I6f5zccNJDeV+6SQrVr3iwjgB0=[/tex]没有导数及函数g(x)在点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]没有导数,则函数[tex=5.643x1.357]GmtX7Vop79exGU/rpqXUYw==[/tex]在已知点[tex=2.286x1.0]DSJKaWfJALImFxxTg/8qhA==[/tex]的可微性怎样?
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 均在区间 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续，而 [tex=2.429x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFqyq/RV3jccSxj4F/gfqSdMY=[/tex]在 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在, [tex=6.714x1.357]mMYUeNAe38X+/GvdLKmvRw==[/tex] 且在区间 [tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内存在点[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex], 使 [tex=3.571x1.357]Ae0+MLPjHrEQQfkynMVIuA==[/tex] 求证：在区间[tex=2.071x1.357]BBsQyjaNPR/OoqeFMMndcw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.214]Yp8n+BSB2k4l/YvG+KhxfQ==[/tex], 使得 [tex=4.071x1.429]79SmwT+8J9VTqKDgDEyFq6pmbgnCr+Bs7EkXECfy+oM=[/tex]