设[tex=15.571x1.5]19VAonB82P2U9skH4l/8c2GXL+MWnOB6dmDQuYWeNF3wDxwiq463EfUqw7tovHtiFKzcjAEAKtkRrTLbbTW81w==[/tex]是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次多项式,如果 [tex=8.286x1.5]MXcLK3Kdbr0c6ADEmIN2+nb+u40VVmVE/SXFRZoiWOI=[/tex]其中 [tex=4.214x1.357]OiV8adTrdUj/i7uIGssk3Q==[/tex] 即 [tex=2.143x1.357]xa53XWRsz1DXvOhEpaAa7Q==[/tex]不再含有因式 [tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex], 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex] 的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重根,称[tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex]为 [tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex]的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式. 证明: 如果[tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex]是[tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式,则 [tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex] 为[tex=2.429x1.429]I3331MIGaG8NU8DStKrCuA==[/tex]的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 重因式.

2022-07-23

设[tex=15.571x1.5]19VAonB82P2U9skH4l/8c2GXL+MWnOB6dmDQuYWeNF3wDxwiq463EfUqw7tovHtiFKzcjAEAKtkRrTLbbTW81w==[/tex]是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次多项式,如果 [tex=8.286x1.5]MXcLK3Kdbr0c6ADEmIN2+nb+u40VVmVE/SXFRZoiWOI=[/tex]其中 [tex=4.214x1.357]OiV8adTrdUj/i7uIGssk3Q==[/tex] 即 [tex=2.143x1.357]xa53XWRsz1DXvOhEpaAa7Q==[/tex]不再含有因式 [tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex], 则称 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex] 的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重根,称[tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex]为 [tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex]的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式. 证明: 如果[tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex]是[tex=2.0x1.357]JGIimJ0gsQwNToblSlzsJw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式,则 [tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex] 为[tex=2.429x1.429]I3331MIGaG8NU8DStKrCuA==[/tex]的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 重因式.

答案：

证 设[tex=8.286x1.5]MXcLK3Kdbr0c6ADEmIN2+nb+u40VVmVE/SXFRZoiWOI=[/tex]这里[tex=4.214x1.357]5iybktGFdpdtqNMMIMXCTg==[/tex] 那么[tex=16.786x1.5]Y3MTXMm58v0xL50K5UVj0eEh/x3uxBfyzrZLLdzStdKPHiRfoCDB9gaSCUqBG1FIJ+VkJqQNiTYxdIDBQLC/4gBSAOlsKO5wUBt55edsboY=[/tex]记[tex=11.5x1.429]X2aZEjJLL2WUtUpBxuIxR45xy6+f5YojRypIUtZG9xkrGgvc7zNZksISvE7henRa[/tex]那么 [tex=9.357x1.5]2oQF9p4KcjfwjUXx5Fm7PW62kAQgT2YpxktkwpQjorZnYPc9dhr3ya+YwJ29QmWr[/tex] 且 [tex=7.429x1.357]km6UNjA2FZBKp1igU/Zkp6CBt4lC0vhQD/ujwwX41Ik=[/tex] 由上面的定义知道 [tex=1.929x1.071]njA/GYL3pvDY9rqnMJq+fg==[/tex] 为 [tex=2.429x1.429]I3331MIGaG8NU8DStKrCuA==[/tex] 的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式.

举一反三

内容

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举例说明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中, 一个不可约多项式 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的导数 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 的 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 重因式 [tex=3.143x1.357]eJxmmm2XyV+zmKrbKLkQ+Q3G1Ef11Zd4P4yePPiikoE=[/tex], 但是 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 不是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式.
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设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式，能否说 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的[tex=1.857x1.143]PSohUWi0ybh4CZh2mmureA==[/tex] 重因式，为什么？
2
设[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式，证明：[tex=1.714x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式的充分且必要条件是[tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex].
3
证明: [tex=2.0x1.357]bhIid+utCyrxmES94DkZ5Q==[/tex] 中, 不可约多项式 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 重因式 [tex=3.143x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKGjljFXv8xgmLBe4lI/viUA=[/tex] 的充分必要条件为: [tex=1.857x1.357]YgqrIVc9fHf3i2mhYVpCJg==[/tex] 是 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], [tex=8.429x1.571]8pPgpxg7bYRI/FV2Tu6pC1RcgVDaWWsDoF5E7wV0rTdVpIgjBp6LfyGyO8Avd3dj[/tex] 的因式, 但不是 [tex=2.929x1.571]gF/lgrkzuoGNjQKH73W22A==[/tex] 的因式.
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设[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是一个域，不可约多项式[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的一个[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]UNYqr1Y7cmjujB4PZlbJKGjljFXv8xgmLBe4lI/viUA=[/tex]，证明：如果 char [tex=1.929x1.0]cdQ98Ok0dLr6ntvDKBzvOQ==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex]是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的[tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex]重因式，特别地，[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的单因式不是[tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex]的因式。