设随机过程Z(t)=X1cosω0t-X2sinω0t，若X1和X2是彼此独立且均值为0、方差为δ2的高斯随机变量，试求：

2022-06-26

设随机过程Z(t)=X1cosω0t-X2sinω0t，若X1和X2是彼此独立且均值为0、方差为δ2的高斯随机变量，试求：

答案：

因为X1和X2的均值为0，则E[Z(t)]=E[X1cosω0t-X2sinωt]=cosω0tE[X1]一sinω0tE[X2]=0E[Z2(t)]=E[(X1cosω0t-X2sinω0t)2]=E[X12cos2ω0t-X1X2sin2ω0t+X22sin2ω0t]=cos2ω0tE[X12]-sin2ω0tE[X1X2]+sinω0tE[X22]因为X1和X2是彼此独立且均值为0、方差为δ2，所以有E[X1X2]=E[X1]E[X2]，E[X12]=E[X22]=δ2则E[Z2(t)]=δ2cos2ω0t+δ2sin2ω0t=δ2（2）因为z(t)是正态随机变量x1，x2经线性变换所得，所以Z(t)也是正态随机过程。而E[Z(t)]=0，D[Z(t)]=E[Z2(t)]-E2[Z(t)]=δ2所以Z(t)的一维分布概率密度函数为（3）由互相关函数和互协方差函数的定义，可知Rz(t1，t2)=E[Z(t1)Z(t2)]=E[(X1cosω0t1-X2sinω0t1)(X1c0sω0t2-X2sinω0t2)]=E[(X12cosω0t1cosω0t2-X1X2cosω0t1sinω0t2-X1X2sinω0t1cosω0t2+X22sinω0t1sinω0t2)]=cosω0t1cosω0t2E[X12]+sinω0t1sinω0t2E[X22]=δ2cosω0(t1-t2)因为E[z(t)]=0，所以有B(t1，t2)=R(t1，t2)-E[z(t1)]E[z(t2)]=R(t1，t2)=δ2cosω0(t1-t2)[知识点窍]本题考查的是正态随机过程(高斯过程)的数学期望、自相关函数的求法、自相关函数和协方差函数之间的关系以及其一维概率密度函数与其数字特征的联系和正态随机变量经过线性变换后仍为正态随机变量。[逻辑推理]E[Z(t)]是随机过程的数学期望，而求解E[Z2(t)]则可联想到概率中求随机变量的函数的数学期望的方法。

举一反三

内容

0
【单选题】设总体X~N(μ,σ2),(X1, X2,..., Xn)为来自总体X的一个样本,当方差σ2未知时,作假设检验H0:μ=μ0, H1:μ≠μ0,则在α水平下,其拒绝域为: A. (-tα/2, tα/2) B. (-∞, -tα) C. (tα, +∞) D. (-∞, -tα/2)∪(tα/2, +∞)
1
设随机过程X(t)=At+(1-A)B, -∞＜t＜∞. 其中随机变量A与B独立同分布，P(A=0)=0.4, P(A=1)=0.6. 则以下选项正确的有（）. A: P(X(0)=1, X(1)=1)=0.24. B: P(X(0)=1, X(1)=0)=0.24. C: P(X(0)=0, X(1)=1)=0.36. D: P(X(0)=0, X(1)=0)=0.16.
2
设\(z = \int_ { { x^2}}^y { { e^t}\sin t} dt\)，则\({z_{xx}=}\) A: \(2{e^ { { x^2}}}\left[ {\left( {1 + 2{x^2}} \right)\sin {x^2} + 2{x^2}\cos {x^2}} \right]\) B: \( - 2{e^ { { x^2}}}\left[ {\left( {1 + 2{x^2}} \right)\sin {x^2} - 2{x^2}\cos {x^2}} \right]\) C: \( - 2{e^ { { x^2}}}\left[ {\left( {1 + 2{x^2}} \right)\sin {x^2} + 2{x^2}\cos {x^2}} \right]\) D: \( - 2{e^ { { x^2}}}\left[ {\left( {1 + 2{x^2}} \right)\cos {x^2} + 2{x^2}\sin {x^2}} \right]\)
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若X1和X2是彼此独立且均值为0、方差为[img=18x22]1803a67557155e2.png[/img]的高斯随机变量，则随机过程[img=218x25]1803a67561ed429.png[/img]也是高斯过程。
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一空间曲线由参数方程x=t y=sin(2t) , -3<t<3z=cos(3t*t)表示，绘制这段曲线可以由下列哪组语句完成。 A: t=-3:0.1:3;x=t;y=sin(2*t);z=cos(3*t.*t);plot3(x, y, z, t) B: t=-3:0.1:3;x=t;y=sin(2*t);z=cos(3*t*t);plot3(x, y, z) C: t=-3:0.1:3;y=sin(2*t)；z=cos(3*t.*t)；plot3(x, y, z) D: t=-3:0.1:3;x=t;y=sin(2*t);z=cos(3*t.*t);plot3(x, y, z) E: x=-3:0.1:3;y=sin(2*x);z=cos(3*x.*x);plot3(x, y, z)