举一反三
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是n阶可逆方阵，将[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的第[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]行和第[tex=0.5x1.286]vaguiW6u3ltwNwgVxp69rQ==[/tex]行互换后得到的矩阵记为[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]。（1）证明[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是可逆矩阵；（2）求[tex=2.5x1.286]QP7+uCY2cBjXFArncz56jg==[/tex]
- 若可逆矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]作下列变化，则[tex=1.714x1.286]TO1yVSeu6VTkH5eqe0g3AQ==[/tex]相应地有怎样的变化？（1）[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]中[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]行与[tex=0.5x1.286]vaguiW6u3ltwNwgVxp69rQ==[/tex]行互换；（2）[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]中[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]行乘上非零数[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]；（3）[tex=2.071x1.286]6gewx0PIikJyvSQvJcOOfw==[/tex]时，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]中第[tex=0.5x1.286]vaguiW6u3ltwNwgVxp69rQ==[/tex]行乘上数[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]加到第[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]行。
- 证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ， 都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]， 其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]， [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]相似的充要条件是 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]有相同的特征值。
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为3阶矩阵，将[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的第2行加到第1行得[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，再将[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]的第1列的[tex=1.214x1.286]WDa3CFFbujv+acHNTSW8sQ==[/tex]倍加到第2列得[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]，记[tex=7.286x3.5]1JnQGSbfFjtycekdCEuXf6eY6UyTLXndyMUiVmbQVuEJlyWfJ1Rfz7nzrQ0oSAQ7RV+IjV8FxLSE3UU+2QrBFDQvbvJMIHSdI1/W7Gvs6wxolxRUXIAk76tYuRm+DFor[/tex]，证明：[tex=5.286x1.286]Pe3qh48XyWfcNKI5CY5g7hO0aN8bAxlG6ChRvszNpdk=[/tex]．
内容
- 0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex], [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex], [tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都是 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵，证明:[tex=2.357x1.286]CV5IHDzl71rjlr9NcRxgrg==[/tex]可逆的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex], [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex], [tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都可逆。
- 1
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]、[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵, 且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可逆, 证明[tex=1.571x1.286]cHJ4KDAad01mWuGaiQQpfA==[/tex] 与[tex=1.571x1.286]TPNlNIVtJPoRyyIaBTqdfg==[/tex]相似.
- 2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]合同，证明：[tex=5.214x1.286]FPVBIVvmXc/lzHHB/iDA4w==[/tex]．
- 3
试证：[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]若满足下列三个条件中的两个，则满足第三个．(1)[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]对合（即[tex=3.286x1.286]UYeZQ7ctQhujC8g1CvD2aw==[/tex]）；(2)[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]正交（即[tex=4.143x1.286]ipHnU2E6ffERGyrFE1fc9kE2N9mFcWmeGSLHv9NAmP8=[/tex]）；(3)[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]对称（即[tex=3.429x1.286]qB0DVTOnJKxkmsLEs1Xg1Q==[/tex]）．
- 4
假设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶反对称矩阵，试证：[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]的阶数[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]为奇数时，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是不可逆矩阵．