设位于第一象限的曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]过点[tex=3.429x2.214]svxlIEBXdNxoqp6wzeigQBhZak6lSnabP7YC5AuQE7OH7PGQAXJ6MVDyIv1rIvWb[/tex]，其上任意一点[tex=3.0x1.286]kyujQA9JEEfOzSysFBnMcw==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴的交点为[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，且线段[tex=1.571x1.286]+40+xgx+PPxliwZt1F/RBA==[/tex]被[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴平分。(I)求曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的方程；(II)已知曲线[tex=3.786x1.286]BQBaxI8k9F73aCnSHszVhg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]dE9QZiXxivv7bu3TxEuD0A==[/tex]上的弧长为[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex],试用[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex]表示曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的弧长[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]。（本题满分12分）

2022-06-29

设位于第一象限的曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]过点[tex=3.429x2.214]svxlIEBXdNxoqp6wzeigQBhZak6lSnabP7YC5AuQE7OH7PGQAXJ6MVDyIv1rIvWb[/tex]，其上任意一点[tex=3.0x1.286]kyujQA9JEEfOzSysFBnMcw==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴的交点为[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，且线段[tex=1.571x1.286]+40+xgx+PPxliwZt1F/RBA==[/tex]被[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴平分。(I)求曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的方程；(II)已知曲线[tex=3.786x1.286]BQBaxI8k9F73aCnSHszVhg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]dE9QZiXxivv7bu3TxEuD0A==[/tex]上的弧长为[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex],试用[tex=0.357x1.286]O1PzqaL1+AfC/NERqj1Zew==[/tex]表示曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的弧长[tex=0.5x1.286]r65Ank8E1dV+BtDCLn5S+w==[/tex]。（本题满分12分）

答案：

(I)曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=3.0x1.286]kyujQA9JEEfOzSysFBnMcw==[/tex]的法线方程为[tex=8.857x2.143]Gm+qRxRj84+J+YGykUIYeZtWRQhWDJsjMs7UJvxUqV0=[/tex]，其中[tex=3.429x1.286]0XD6T7BC5LhqpHco6XBPYg==[/tex]为法线上任意一点的坐标，令[tex=2.714x1.286]9hPeU5HUxepW2MiiNaQr/A==[/tex]，则[tex=4.714x1.929]Ukl3WuQoMp6MVHZnPYSQkzma387NOgQT39f5lHYjtt8=[/tex]，所以[tex=5.143x1.929]I+2yPZ/ACRGYynpqPQn1vCrOA0HjOlWzjI4eknJzEs4=[/tex]，由题意得：[tex=6.214x1.929]EIp3LA2dj3zpsDhsUaaY++gFI5n2gj6VGU9lr6kiELE=[/tex],即[tex=6.643x1.286]bm3wznavQVKtW0ErUn+A8g==[/tex] ，积分得到：[tex=5.714x1.286]oTnIXhubGK+IywSf56PXrA==[/tex] 。由[tex=4.929x2.0]reekoFiczXUaV05FxoLQN+H9+Vo3/CbczALEwM6g70CQByUCurW3eTORTeirrGAt[/tex]，知[tex=2.5x1.286]Seg+vnsEAUq72Z1eAyK6MA==[/tex] 。所以曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的方程为：[tex=5.357x1.286]ovdK994qwjmwTXys8hXwRA==[/tex] 。(II)曲线[tex=3.786x1.286]BQBaxI8k9F73aCnSHszVhg==[/tex]在[tex=2.071x1.286]dE9QZiXxivv7bu3TxEuD0A==[/tex]的弧长为：[tex=10.286x2.5]eJ71h0b7cggh2t5/yt7xJFNSLxe6MVMDWDI9oNdCjJmhUMRUtDTKaKfFNgUCtwc+w/wFpRTuKYXLw/7t43VMkA==[/tex] 。曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]的参数方程为：[tex=6.357x3.857]9PdFkyNZN0jrsDSPEdYME6AEqBfiz5XF4o+pCMQ2+t4I9jmadlAQg0FilIK9KmFD8oTUcUvJyboNPh89Be+UPtLR5kqq0bSn+ipbojdww83FpI4wmzKJfONNSOZue9Sr[/tex]所以[tex=12.0x2.5]d+1LYj4W39emGYFqrmkAN0aIhE1tE+pQNjtnGts4NdTvBivEJnb1wZRJFCqBMkGLxvq6/IrfhReiBkPBTsoro5o1M2sLeG4nNGU5RoHL78g=[/tex][tex=10.5x2.5]3GzBypx779uVjVJRo6TB38WG/np7LjgwISiTHA6u1tXLFVZStWZAxALWaPv38WhksWNr7e33WCpT4c44bjKJ6nSQEB19ou+9QJrUE4aKofg=[/tex] 。令[tex=4.143x1.786]odldsZC6sNKJd1mUXShn1POTocQiYgrS4RsDpre3uF0=[/tex]，则[tex=12.214x2.643]3qik5iDCY435Mh4pU53pOS6G1oXCHe4/6AoM086Gwlar4ILjzOQWtnGToJoHbwj5ZkV1MowGocjgpsqQ4dU4hVyweOT+M2JNhzR776Vj5W8=[/tex]   [tex=0.786x1.286]rj6W22mVYNX/YbwkMquVUw==[/tex][tex=9.286x2.5]5WBVbM77NVP2kFA9YoRRXhCBWcE8A86ZpxPr+xHPTltWeTRgw9xGg+wuFC62Xw6EAEXh62tYSwX36MuoPYceZw==[/tex]   [tex=3.0x2.286]zh4GijN8YTS5gLZBqwoOIgtNSb5C5nLxVt8KdPQLTxI=[/tex][tex=2.857x2.214]3GzBypx779uVjVJRo6TB38S4oRg0iN7dSXAtTGtUmpk=[/tex]。

举一反三

内容

0
函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]处连续，试问函数[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]在点[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]处是否可微，为什么？
1
设曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]，其中[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是可导函数，且[tex=3.714x1.286]FOh2uNZfgGlH8S+OVIqrUA==[/tex]。已知曲线[tex=3.714x1.286]ILxTGSNsFVqbb4UrB1q2og==[/tex]与直线[tex=2.357x1.214]/1Hc3IEqjvG22LyL7cBWzg==[/tex]，[tex=2.286x0.929]F8quAfqxSMq0YNz0Jq+5mA==[/tex]（[tex=2.214x1.071]86xUT6AeJTGyCzwI/MlK7w==[/tex]）及[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的[tex=1.0x1.286]7KlWS0ahNKCzY2AzcgVzCg==[/tex]倍，求该曲线的方程。
2
对于以下两种情形:(1)x为自变量,(2)x为中间变量,求函数[tex=2.214x1.214]sy9gaFRMGlrH59gm9bWSDg==[/tex]的[tex=1.5x1.429]5W5tOYbJ+LlsRP2dMsi4byxwtjvvL/3u7NEzPV5PWp0=[/tex]
3
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：曲线上点[tex=3.0x1.286]xeRn5SNOQos1mbbKIFL6ow==[/tex]处的法线与[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴的交点为[tex=0.786x1.286]gvyykdQdNBydRqWi9I4iuA==[/tex]，且线段[tex=1.571x1.286]DxkaqxrqEWa0dZ+z/jyakw==[/tex]被[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴平分。
4
设在[tex=1.857x1.286]j9TayWzddHzM0PQ/gL6C3Q==[/tex]面内有一分布着质量的曲线弧[tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex]，在点[tex=2.214x1.286]S6NgNKNoH80dgKR3db0eeg==[/tex]处它的线密度为[tex=2.857x1.286]o4NdGwqKyionbD984dgRAQ==[/tex]，用对弧长的曲线积分分别表达：(1)这曲线弧对[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴、对[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴的转动惯量[tex=2.214x1.286]XyrFaxXQbY1IJh/EfuaWVjvauo4VKjdJXnsVavBnb2w=[/tex];(2)这曲线弧的重心坐标[tex=1.571x1.286]G6buJjlYEUEwnDTay7crTgciovjELiaV2vL+l4R5uXQ=[/tex].