一个矩阵称为行（列）满秩矩阵，如果它的行（列）向量组是线性无关.证明：如果一个[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，那么存在[tex=2.143x1.071]Rtxts52p4rdDLdHA6Amz2w==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]和[tex=2.286x1.071]Ef3ubbPzNaK2nOISNr/qww==[/tex]行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=3.071x1.0]hNGs1Px60d+kQ9QCRfyP3A==[/tex].

2022-06-29

一个矩阵称为行（列）满秩矩阵，如果它的行（列）向量组是线性无关.证明：如果一个[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]，那么存在[tex=2.143x1.071]Rtxts52p4rdDLdHA6Amz2w==[/tex]的列满秩矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]和[tex=2.286x1.071]Ef3ubbPzNaK2nOISNr/qww==[/tex]行满秩矩阵[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]，使得[tex=3.071x1.0]hNGs1Px60d+kQ9QCRfyP3A==[/tex].

答案：

证明：设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的行向量组的一个极大线性无关组为[tex=5.5x1.071]BANFvNwJZ0pRQZSs8aodos3XIhLimqGf46uYlx8lVTQjr9tfyN30r8Zkbw0RWYmbHoRMIQWG7esHZaUu9C3U+g==[/tex]则[tex=31.214x5.214]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[/tex]分别记等号右端的第一、二个矩阵为[tex=1.786x1.214]fwWgBfmhtkmuF4hzPKBpBw==[/tex].则[tex=3.071x1.0]hNGs1Px60d+kQ9QCRfyP3A==[/tex].显然[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]是[tex=2.286x1.071]Ef3ubbPzNaK2nOISNr/qww==[/tex]行满秩矩阵.由于[tex=13.143x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGALfl5JFEkGE3g1neD6/ZjaWV9+UeKYd904wncfNOvWaI/Uuhm6NopD8HNepswsQNzZ4UicTVfs6rs/7VzKL1+rUkzX1FDT1BidPkQDhU/xH[/tex]，因此[tex=5.357x1.357]k8PvTJe4iQVkvPfhUhxDGI3xMXm0C/DgWiZiBMKk6ddKRaJpzmi2oHeFJkZ7fezr[/tex].又由于[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]只有[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]列.于是[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]为[tex=2.143x1.071]Rtxts52p4rdDLdHA6Amz2w==[/tex]列满秩矩阵.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex] 为一个[tex=2.143x1.071]cSX25uRknOOxLm6lK56EQg==[/tex]矩阵，[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]为一个[tex=2.286x1.071]zXLE9Sy0lPfi6rhDrfbNLg==[/tex]矩阵，且秩[tex=3.5x1.357]h9U7AH4SbVmBflCIkRjUdg==[/tex]，证明：１）如果[tex=2.786x1.0]prDG8hdWIR9UGIvu3frjfg==[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]mKMzRM08Az0BU9t4FQ4ITg==[/tex]；２）如果[tex=3.0x1.0]qK5WaXGudrpiGaeMImMUkQ==[/tex]，那么[tex=2.286x1.0]LsRbXeBmB8HhIgOQ7kLWhA==[/tex]．
1
证明:设[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的秩为 $r,$ 则有 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]和 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 的行满秩矩阵[tex=1.071x1.214]yt4RbNiVhn8ZYcZyQJBRDA==[/tex]使[tex=3.286x1.214]2MpBj3HxuvgFGXLpO4ZTTA==[/tex]
2
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=2.357x1.071]QArHY/B/HPaeI4OFb8f5sA==[/tex]矩阵.证明：[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是列满秩矩阵当且仅当存在[tex=0.5x0.786]ICKY+F5VdoSQrRn/wUUOyw==[/tex]级可逆矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]，使得[tex=5.714x2.786]GOgGvXf8fpWrP7XGIdsj8/NUqPJl/9cX6USGFSTASsQOKHl4580Mpt6T6Dn85xpMOGmjKwp5eZciA0U/RdGbPg==[/tex].
3
证明:设[tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex], 则有 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 的列满秩矩阵[tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex]和[tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex]的行满秩矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使 [tex=3.286x1.214]2MpBj3HxuvgFGXLpO4ZTTA==[/tex]
4
矩阵的列 (行)向量组如果是线性无关的,就称该矩阵为列 (行 ) 满秩的. 证明: 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.571x1.071]cx+2xSos1xod7QXaYyONqA==[/tex] 矩阵,则 $A$ 是列满秩的充分必要条件为存在[tex=3.0x1.071]3LQQzI0KJjG7PpCWpzfJEw==[/tex] 可逆矩阵 $P$ 使[tex=5.714x2.214]eR9l87oqe1iIu8PPK9rIIN+zg7zOUVo7eGSNI53/Oqz7RAz2X3OsnVlaBUHurWPS6TTelCVwUiPZ0wUDyONvzQ==[/tex]同样地, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为行满秩的充分必要条件为存在 [tex=2.143x1.071]zPRKwnulgPvDmSjL4DZxSA==[/tex]可逆矩阵[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 使[tex=6.0x1.357]12R7EUUsGy2G30Pqv9kmRoeGTZhlko1TZ/AigDV1f9E=[/tex]