证明：对称阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]为正定的充要条件是存在可逆矩阵[tex=0.714x1.0]UsTt0JMISB2vmq9eVGUHdA==[/tex]，使[tex=3.5x1.214]Xjh0sN2YiBTj3o55U8AmcQ==[/tex] .
举一反三
- 证明对称阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定的充要条件是：存在可逆矩阵 [tex=0.714x1.0]X6uqj1A7AQmRFBpFsTbZTg==[/tex]，使 [tex=3.5x1.214]IhKcrEYiWSG5ZMdbjEWk0g==[/tex]，即 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与单位阵 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 合同 .
- 证明下列关于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex] 的命题等价:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵;(2) 存在主对角线上元素全等于 1 的上三角矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.214x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQduX6byHelpj3JKtBTHuEcoE=[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是正定对角矩阵;(3) 存在主对角线上元素全为正的上三角矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.429x1.143]hxFWgRCv5aAQupvKU7mh2X67EnHzc+kizXjoVHgcPDY=[/tex]
- 证明：[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]使得[tex=3.286x1.214]QmOMvBPr6os2SPaojQViqQ==[/tex].
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:(1) 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl/jgx7HDqG8OMKcZZrhVcXy6+JovSSXitpjCbh6SDQEN[/tex](2) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为半正定阵的充要条件是对所有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶半正定阵 [tex=6.571x1.357]pwQb9ceT2+qsbXbi+6dIl8wUbDZMgCOnJA1lQifZKR+Dh2C+JkyFhRzqn66dyW91[/tex]
- 证明下列关于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex] 的命题等价:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵;(2) 存在主对角线上元素全等于 1 的上三角矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.214x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQduX6byHelpj3JKtBTHuEcoE=[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是半正定对角矩阵;(3) 存在主对角线上元素全为非负实数的上三角矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.571x1.143]hxFWgRCv5aAQupvKU7mh2beLYIJKHZGJzzikFX5cknU=[/tex]