设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是同阶半正定实对称矩阵. 求证:[tex=7.857x1.357]ok49kgtlJvgB2mMZFrrCSMFn5Knis2N1x2+nC9aTezCOWoN/BhsJ24bEGyx0+ZR9[/tex]等号成立的充要条件是 [tex=2.357x1.0]g15fJa5afUA5MawCLYMXqQ==[/tex].

2022-06-29

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是同阶半正定实对称矩阵. 求证:[tex=7.857x1.357]ok49kgtlJvgB2mMZFrrCSMFn5Knis2N1x2+nC9aTezCOWoN/BhsJ24bEGyx0+ZR9[/tex]等号成立的充要条件是 [tex=2.357x1.0]g15fJa5afUA5MawCLYMXqQ==[/tex].

答案：

证明 可知, 存在可逆矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使[tex=17.643x1.429]pEFgwyfsux85dbpnHxxzYhesajINLYJVRzKGkGnSX078nrUfWI8uRCcD8opbD9QAy7Re05ZreMTgif4FVpOivmYTlU/mQXwTLNG1X5wP2XYPaE1Z5Z5qnvJiDRuuSwNtEStlEm672yUpaSpXm5GK6A6azbSJiKp5/d8HkY1/sGASBP1XdfQ2pSePomIBSlX1[/tex]因为 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 半正定, 故 [tex=2.5x1.143]KIvVBYdWsSmMoQdQfsh4cMQEzVxU+P2UQyQk68cVJmk=[/tex] 也半正定, 从而 [tex=3.0x1.214]bV3Dd5PO/Hax2Fbhiw4eqi4RPywu/KK5IBvqcKs89J4=[/tex] 注意到[tex=25.0x1.429]rfBcjzpMpjFKiudv2Uah3euK76FQ+jDtqoqy6sImdXs6eN58tewhRoSz4pUsV/WRp3y5dhNlh4gZB8RTK14aRN9o7QwuCRM7OTxYTK0Q36QXa38kWBho4SH9tdKYrEliObwjIjDxtZE5oafFZ0CnmC7lP41NdyXJC0tRvDXq5ox8EzCBQz1jA/Sj32dxtvwnKYA/juIO5Ij43p6wLat9bavn5hfKRR5Qyl3aaQAe8pSYHYrOL/5tBJgqEYl6ZTTy[/tex][tex=23.571x1.429]xr3B9rCcxkP4tofbCVqwbfvBYiqVRUCPyT857OmA+4fiTJVjKPm8rgb0QENjN6QHl3DJv0jy7V+MVWaouGzvjTnnSVRzlmmEPOanuLFkeKLtLaYzgRCKBsCDPDjBA8PyooEORdrXJR9q49Q1atFXY2J/3OXJYjeHQI4THlMEaj467SG4J4yShWVkTLkIvErr0HbGNOjwsZqYLellbntbsQ==[/tex]故有 [tex=7.857x1.357]ok49kgtlJvgB2mMZFrrCSMFn5Knis2N1x2+nC9aTezCOWoN/BhsJ24bEGyx0+ZR9[/tex] 等号成立当且仅当所有的 [tex=2.143x1.214]CPC22l7M3LIB6sDzZq/w0A==[/tex], 这也当且仅当 [tex=2.357x1.0]g15fJa5afUA5MawCLYMXqQ==[/tex].

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵的充要条件是存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.571x1.143]hxFWgRCv5aAQupvKU7mh2beLYIJKHZGJzzikFX5cknU=[/tex] 特别地, [tex=5.643x1.5]D4lHlRC2Cj631bW0hzH2K1oqj6tIuom8fDjIozTyv0w=[/tex]
2
[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值均为正数的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定方阵.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵的充要条件是存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异实矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.286x1.143]Ys46PWl0/Kt6EeuPQmIYUVrqckiP2yTAu4+gPWxyAI8=[/tex];
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, [tex=0.786x1.0]31ONYnbHQSlZxLYp4NcvYQ==[/tex] 是同阶实矩阵, 已知 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 是实对称矩阵. 证明: [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 是正定阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]31ONYnbHQSlZxLYp4NcvYQ==[/tex] 的特征值全是正实数.