试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上非负实值可测函数,则 [tex=2.357x1.5]TmZtGKi/BCqH3lxpzbIvTA==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积当且仅当[tex=15.571x3.286]eo4+Or2nRjPO1XMeI9CVMLCld2Jvji1B1hCYEjgm+3hZX53nHkOMnxdeFlHRDd5BqBiBcUx0hBMdjSd3+eraCJa4cwwxkYMiSX092RHmb4tgcpPJQ2+guLKcbAELFt0p[/tex].
举一反三
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上非负可测 , 则 [tex=2.357x1.5]02aLItB8wf4u4JbLtkrTRw==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积当且仅当[tex=15.929x3.286]eo4+Or2nRjPO1XMeI9CVMAE20OkAybkezBsTcLD9KIsiOCGvijX7+HlUsNJUxch6EH/OGyFFZRxMz6Ul6s4vXvyhPcJrKi5Kbp0Su0wCIwFyNKZop26DTOilk1HGItJ3[/tex].[br][/br][br][/br]
- 设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上一有限实函数,那么下列两件事等价 :(1) [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上满足 [tex=4.214x1.214]GhIKRZ36/tUBZOCVzb56Tg==[/tex] 条件;(2) [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
- 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上可积, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上满足 [tex=6.5x1.357]UXaRUg7BF9zV7ojhkK/1rwe6GMJy7HOsBoWZi4KGW8U=[/tex]([tex=0.929x0.786]o6X45tpG/qifjWfiPhyOpQ==[/tex] 为常数 ), 证明 [tex=2.143x2.643]9b0SZgsi+TL9knQy95iF8392AEBaIU8lF6yXDNjaOsY=[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积.
- 设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上连续, 且 [tex=7.357x1.357]uDZognCYe2c/zRuokcdW2HBjR3D/FFsKyFLSnT+mmSc=[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒正或恒负.