证明 [tex=3.571x1.357]gPG/QVrOL1mrieDb5iHwFQ==[/tex] 的充分必要条件是存在非零列向量 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 和非零行向量[tex=0.929x1.214]vWNxxcqgA7zQOPzfoHCafQ==[/tex]，使 [tex=3.0x1.214]4R2aA4ComC0OkqjtGViBew==[/tex] .

2022-06-29

证明 [tex=3.571x1.357]gPG/QVrOL1mrieDb5iHwFQ==[/tex] 的充分必要条件是存在非零列向量 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 和非零行向量[tex=0.929x1.214]vWNxxcqgA7zQOPzfoHCafQ==[/tex]，使 [tex=3.0x1.214]4R2aA4ComC0OkqjtGViBew==[/tex] .

答案：

[b]证  [/b]  先证充分性. 设 [tex=17.786x1.286]NTl3P0e4IDn/CNyOFlXhOBk4ujk5WMUtHc1Cdzp8N2AhAGCOqkbpFNQUm983ewWK/AoSdkEFgHCNc4jmLAXafIhJh8CaKxWVjWau+f8bI8EzHfXVwWZITlTL3MpRUo9yR2jX+P1Nm6VnGqcJNdUlbg==[/tex]，不妨设 [tex=3.643x1.286]qsn7H1/xYJHexdEfgRGgjj3fT+hRHLdTsRhXbNuQhEc=[/tex] .按矩阵秩的性质⑦，由 [tex=3.0x1.214]rQzKD2x+bEj6OZ7M/dxmVxxxaS/dzPGuYBVLbzhPoiI=[/tex] 有 [tex=6.429x1.357]wXBgLdKqtD7VeXKC3NihjL/K7FaBA8K3JnAH4E+tzRM=[/tex]；另一方面，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的  [tex=2.286x1.357]IznYKk7kywvI5iLU+xoABA==[/tex] 元 [tex=3.643x1.286]qsn7H1/xYJHexdEfgRGgjj3fT+hRHLdTsRhXbNuQhEc=[/tex]，知 [tex=4.143x1.357]IQ+vQRUtM4oTXNpnrV9wbY0kaVVKDGH2MKy7N4VgY80=[/tex].于是 [tex=3.571x1.357]hqSsifDPhmNzx73mSI4ZJg==[/tex] .再证必要性 .设 [tex=9.286x1.5]7K89EAiqbgRkVf5frr2x21FWWhqbaMCTymeE9gvi0RnUyT+x915PPeSkgknzFHAO18EfrG0411+T8RimXHkM7A==[/tex]，不妨设 [tex=3.071x1.286]lviG8tc5V87ubybJa/RnfbRIh10mje1b/RmuTWAgVhE=[/tex].因 [tex=3.571x1.357]gPG/QVrOL1mrieDb5iHwFQ==[/tex]，知 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有二阶子式均为零，故对 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的任一元 [tex=6.571x1.286]G7Gg9S53LPRhKP1O7n+dlqldI1gyOZR+qPro6tXE+gA=[/tex] 有[p=align:center][tex=6.429x2.786]Uyz5s0rmQIddjb5Jc2T/YZeo6Jm+0fF5DmCFc46e+sol53uEkO8z6f78Pf11Yjoecv7/J7X1CCaCSXNtZYp9wyCDuPL/NmS+IGk5q7p1dEe/s2L3GHwMyf+qM7BV+Gxm[/tex]，即 [tex=6.143x1.286]8wQHlK24RaUgx2ZqQsa+yEYNA0+V29CS9NTSCUGAsaQ3ftpUMV3J+DZNa0wkXL/x[/tex] .[br][/br]上式当 [tex=1.643x1.0]jENyNnivl5SNQXm9ADuZxw==[/tex] 或  [tex=1.5x1.214]FLJuAjBv1OP290osU4wANQ==[/tex] 时也显然成立. 于是[p=align:center][tex=27.357x6.5]oe11HVlBpgnqVUEEYpbT7tCVT5Svs6nFYoYe9A4CIwWBBW/8O/MXc1EIMt2ObWTiHUFBCfmB6PUfzi/NcPBLnw+JtNqgFXzLq+e/ZkYEs9iOsRON6bxVam+PV98rhmlhF9i2xT0LNgMohQNudToL2Wy874Svp2FIgx4XHFNS17Q22XS/GcnT5Lh1gOes/T1Mv0LTH6gfc3Fa1Lwv4oHcKU/DnqHb50tZkrgtK9+kqS5AlOV8Cl3BCjvRaEXf60fTg110KloXWhPLcKJCxOeH2Q9d3Sls5SZXLnSeZwAex8k=[/tex]令 [tex=7.143x4.5]1lEBL13dmPnKf003yp2m48Xhfj9TSWSiJ0MB1m+I/8Ip7QMc8Vtb/oG/jKQ+S72iSQeE1fW6wsGbVTrYgb5LioQwOfrReMggGeOFdwDPnMjKe8SKY/axFxRK+ZDnpWyHHKkL97t7hJvy4Gw23F2KKA==[/tex]，[tex=9.286x1.5]J85icx6uD2Y7nz+k6EoTpUA303DsyAPrCYyKcnqmxPJcvP28DG67viCDSDgJs6yIu2qAWKZhrOVG2dJzDnVFtQ==[/tex]，则因 [tex=3.071x1.286]lviG8tc5V87ubybJa/RnfbRIh10mje1b/RmuTWAgVhE=[/tex] ，故 [tex=2.0x1.286]n/b4exM7Zthn7Idov16tdw==[/tex] 分别是非零列向量和非零行向量，且有 [tex=3.571x1.286]HGmGfGzbhumLVblIV8T3QlozG9lOhvv9FOqjihsL9dI=[/tex] .

举一反三

内容

0
设两个非零向量[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，有式子[tex=6.429x1.357]bGrjgZUKEScLN3JJ2Acraqlff/qQuKQL6Y4EVHrLeGc=[/tex]，试给出式子成立的充分必要条件.
1
设 [tex=5.071x1.357]eSf16nFnjYtV9GqM1J40H2dwTg0xC3Io6DTMLVrwqjo=[/tex], 且 [tex=2.286x1.214]uZHmXnwfwedKg5OzfkybcQ==[/tex] 都为非零向量,证明: [tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex] 平分 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 与 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 的夹角.
2
设有非零向量[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]，如果 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=2.214x1.143]0r4yD2FUhMBrZI0Ja3cQ+A==[/tex]，[tex=4.643x1.357]mYudu4hCS+Lfb4CA1kmzuk0JsvuG1VzazALUYw0OIQ8=[/tex] 共面,问[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，[tex=0.5x0.786]hycNLgozeED/VkKdun7zdA==[/tex]有什么关系?
3
已知二个非零向量[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，求 [tex=1.786x1.143]+JWM/sEBO49/oaEmZ4MdCQ==[/tex]与 [tex=1.786x1.143]S9ildicJrv0Uvz/I1XnOaA==[/tex] 共线的条件.
4
已知二个非零向量[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]，[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]，求[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]值, 使[tex=2.286x1.143]A+WC4/pzfjp2q3MzqAxgJQ==[/tex] 与[tex=2.286x1.143]obnSXG3xGGVbhkhQWnToBw==[/tex] 共线.