试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上是处处可微的,且 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上的可积函数,则 [tex=10.071x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGHWsDx+1iOcafFQjAA6BoH1zDCgj25twkw4g4zp+4jml[/tex].[br][/br]

2022-06-30

试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上是处处可微的,且 [tex=2.214x1.429]8cd96CjdKQybv+xwHUVQpw==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上的可积函数,则 [tex=10.071x2.857]v8dYDmjeifbMxF1xMKtGGHWsDx+1iOcafFQjAA6BoH1zDCgj25twkw4g4zp+4jml[/tex].[br][/br]

答案：

因为 [tex=4.786x1.429]vJ8m95kgQj5X65rgy2FSPq2FVcshNo1mDhzNkZnANWs=[/tex], 所以对于任意的 [tex=2.357x1.071]/A+5vwsEJRNKGtznoqfPMw==[/tex]. 存在 [tex=2.286x1.071]X+2eW6IhkPknBwSlAw9fFQ==[/tex]. 当 [tex=3.643x1.357]ao6mRY93SrHDuxJWBScMD23eWl1ooc4BLZxCs6GiiUA=[/tex] 且[tex=3.929x1.357]QOlwJIdf/GulzinrbIEXZQ==[/tex] 时,有[br][/br][tex=7.071x2.643]jEjV+6v2VkVCS9MccYzrukmgmiddFq+svi9Q4t2ZtdrTN7kdGaPVHfJ1RsjiNKEyJKvQWFT74X8Dm6+KcPUCeg==[/tex].从而对于其长度总和小于 [tex=0.5x1.0]g3C024VcW5lWpceJ6ZrB4A==[/tex] 的任意的互不相交区间组 [tex=11.714x1.357]ckczIdmQJg3icGPkJfgw6F0ym5tZUg7WQAb6E8V4jpvbB1jQcLTKBHAZPaUtI+E/wcTNOw1S8j6QJx18JI+AUtHchExPt1OL0TxlGjEi61sM0jViP5khAfBbMDsg8/Cx[/tex], 可知[tex=19.714x7.571]FY/V+KlqJzbvEe6dXxME6IYuMxhXhoErI9xAoymRtBQj/hitjP4borSk3O6n6HF1adKGI+UAvC+zeCTNtZFz1g1ee38xUyOWW+PexOgEayTePlOnV0qcelrH4qpB7fz2OAOsEtW35NgaVNLmaRHYxXRQwqct/0qIpHZd5f2CcoWIl2eqSKY0mg405f3dffa+dlut7uqwcsAluh0xsdgB3SlHuXUXlNFVorSMHGsGXMzh2exJRUOhf1hn13Uh7FwEQtJBJkaZH0/X0ftjvFS/FV0bfcrcEeD/kxGLfWAmzl1wgeGU5IDnAjIVvdu3wJNIr+7L+fgmHdMW3/YrhjiElH1YXRT5wGbQfEah2IH3wjbcR/vfrZXX4bhWAg7oW3lY0AXoW5OV7xmHjOak72T8THfJiN0q7iXj/xzmV5abFmGDoMCFAax6u7IykCNqLEn9[/tex]这说明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上的绝对连续函数,故结论成立.

举一反三

内容

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设 [tex=5.857x1.357]gfTyftYv3vx5MA+ZCm0ioTLxy7oVEpeq/Rn9ytEwYJE=[/tex] 证明：若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上恒不为零，则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex] 上恒正(或恒负)。
1
判断下列命题是否正确：若函数[tex=3.143x1.357]SvkmdiaSCBne2lfTn9xiFw==[/tex]在[tex=2.0x1.357]5BzgMyDa9DcLuS67nNtOAQ==[/tex]上二阶可导，且对任意的[tex=3.214x1.357]oMv3xI7iNPSl5df0WXB8hw==[/tex]，[tex=4.214x1.429]/FYTUVhgTPYa3RqQR+bSSboa6D/XLbmXd9JTiYswCv4=[/tex]，则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上单调.
2
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上一有限函数，那么下列两件事等价:(1)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上满足 Lipschitz 条件,(2)[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上某个有界可积函数的不定积分.
3
试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上非负实值可测函数,则 [tex=2.357x1.5]TmZtGKi/BCqH3lxpzbIvTA==[/tex] 在[tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex]上可积当且仅当[tex=15.571x3.286]eo4+Or2nRjPO1XMeI9CVMLCld2Jvji1B1hCYEjgm+3hZX53nHkOMnxdeFlHRDd5BqBiBcUx0hBMdjSd3+eraCJa4cwwxkYMiSX092RHmb4tgcpPJQ2+guLKcbAELFt0p[/tex].
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]uQo0Qwms4Bgi6pleNWBbfw==[/tex] 上可积,[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上定义, 且在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 中除了有限个点之外,都有 [tex=4.5x1.357]g5nLB1f2rSsNKL5qY072JQ==[/tex] 证明 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]bXp5Vb63IyKXaWMS3BCP6w==[/tex] 上也可积, 并且有[tex=10.286x2.857]NY7oodrirBbiImTnksGISeP5InpehyYXak28A033MDhXvTwEN9Hk0ozWBWZ0gGlFgyOpyoftjjpQw938qmEWdA==[/tex].[br][/br]