设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间。证明：如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间，则任何映射[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]都是连续的。
举一反三
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间. 证明:如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间 ,则任何映射[tex=3.786x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMi1uu1iRskNUlgfpNYbs1U=[/tex]都是连续的.
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
- 设[tex=5.214x1.214]l2vYijvwphpA0Bdo8olvNhKvOVd4RCELKut0jj6S5qs=[/tex]是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明：（1）集合[tex=9.357x1.357]QCqopxinhs+TvVYgLw48vVpO4x/Rie4gzAlmw62rJGM=[/tex]是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且[tex=3.714x1.357]fo4X83uQk0aLKgSpBjpSMw8oj58YdJ5bCiu5d4gfWQqZvgjwV7CYEcyqXJHmRmoq[/tex]，则f=g。
- 设[tex=2.5x1.286]pU2qFDk4gZnIUekzg5sstg==[/tex]是一个度量空间，证明：作为拓扑空间[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个离散空间当且仅当[tex=0.571x1.286]mGHbklYlBVNXKEGAelwITA==[/tex]是一个离散度量。
- 设[tex=2.071x1.214]ALf/tyqdFsvN4GUuyXnhwA==[/tex]为拓扑空间[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]为连续映射。证明若[tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的连通子集，则[tex=2.0x1.357]kfHtVfCJO3JYo5dbuIpcOQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]的连通子集。