设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间. 证明:如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间 ,则任何映射[tex=3.786x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMi1uu1iRskNUlgfpNYbs1U=[/tex]都是连续的.
举一反三
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]是一个离散的度量空间。证明：如果[tex=0.643x1.0]jDVSpgNhHe+VJmgvx3gg1Q==[/tex]也是度量空间，则任何映射[tex=3.929x1.214]QqFixYebT/bIENpOaCF+iMot2th5ZD+6WQyP0q2fuQQ=[/tex]都是连续的。
- 设[tex=2.571x1.357]RUJ/Tt2raOklywg1mc6VVQ==[/tex]为度量空间，并且[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]有一基只有有限个成员，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]必为只含有有限个点的离散空间。
- 设[tex=5.214x1.214]l2vYijvwphpA0Bdo8olvNhKvOVd4RCELKut0jj6S5qs=[/tex]是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明：（1）集合[tex=9.357x1.357]QCqopxinhs+TvVYgLw48vVpO4x/Rie4gzAlmw62rJGM=[/tex]是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且[tex=3.714x1.357]fo4X83uQk0aLKgSpBjpSMw8oj58YdJ5bCiu5d4gfWQqZvgjwV7CYEcyqXJHmRmoq[/tex]，则f=g。
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间。证明：[tex=3.786x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMk7zKkZhF2bgTbHz3S0yf+A=[/tex]是一个连续映射当且仅当[tex=5.286x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iLSwrngb6SRC2Tn5gE953Mw=[/tex]是一个连续映射。
- 设[tex=2.5x1.286]pU2qFDk4gZnIUekzg5sstg==[/tex]是一个度量空间，证明：作为拓扑空间[tex=0.929x1.286]uswT/CEcOIwMpCvTz/zeaA==[/tex]是一个离散空间当且仅当[tex=0.571x1.286]mGHbklYlBVNXKEGAelwITA==[/tex]是一个离散度量。