设\(A\)是一个\(m\times n\)的矩阵,秩为\(r\).假设存在向量\(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\)使得线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)无解,那么
A: \(m\)严格小于\(n\)
B: \(r\)严格小于\(n\)
C: \(A^T\mathbf{y} = 0\)只有零解
D: \(A^T\mathbf{y} = 0\)有非零解
A: \(m\)严格小于\(n\)
B: \(r\)严格小于\(n\)
C: \(A^T\mathbf{y} = 0\)只有零解
D: \(A^T\mathbf{y} = 0\)有非零解
举一反三
- 若一个\(3\times 4\)的矩阵秩为3,那么它的列空间与左零空间分别是什么? A: \(\mathbb{R}^3, \mathbf{0}\) B: \(\mathbb{R}^4, \mathbf{0}\) C: \(\mathbf{0}, \mathbb{R}^3\) D: \(\mathbf{0}, \mathbb{R}^4\)
- 设\(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{z}\in\mathbb{R}^3\)都是非零列向量,令\(A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{w}\mathbf{z}^T,\)那么\(A\)的秩 A: 至多为2 B: 可能为3 C: 不可能为0 D: 一定是2
- 设\(A, B\)都是n阶方阵,那么 A: 若\(\mathbf{x}\)是\(A\mathbf{x} = 0\)的解,那么\(\mathbf{x}\)一定是\(BA\mathbf{x} = 0\)的解 B: 若\(\mathbf{x}\)是\(A\mathbf{x} = 0\)的解,那么\(\mathbf{x}\)一定是\(AB\mathbf{x} = 0\)的解 C: 以上都不正确
- \(A\)为\(9\times 12\)的矩阵,若线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)对任何\(\mathbf{b}\)都有解,那么\(A\)的列空间\(C(A)=\) A: \(\mathbb{R}^9\) B: \(\mathbb{R}^{12}\) C: 不能确定
- 线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)的所有解何时构成一个线性空间? A: \(\mathbf{b}=0\) B: \(\mathbf{b}\neq 0\) C: \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)的所有解的集合任何时候都是一个线性空间