设\(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{z}\in\mathbb{R}^3\)都是非零列向量,令\(A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{w}\mathbf{z}^T,\)那么\(A\)的秩
A: 至多为2
B: 可能为3
C: 不可能为0
D: 一定是2
A: 至多为2
B: 可能为3
C: 不可能为0
D: 一定是2
举一反三
- 若一个\(3\times 4\)的矩阵秩为3,那么它的列空间与左零空间分别是什么? A: \(\mathbb{R}^3, \mathbf{0}\) B: \(\mathbb{R}^4, \mathbf{0}\) C: \(\mathbf{0}, \mathbb{R}^3\) D: \(\mathbf{0}, \mathbb{R}^4\)
- 设\(A\)是一个\(m\times n\)的矩阵,秩为\(r\).假设存在向量\(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\)使得线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)无解,那么 A: \(m\)严格小于\(n\) B: \(r\)严格小于\(n\) C: \(A^T\mathbf{y} = 0\)只有零解 D: \(A^T\mathbf{y} = 0\)有非零解
- 设\(A, B\)都是n阶方阵,那么 A: 若\(\mathbf{x}\)是\(A\mathbf{x} = 0\)的解,那么\(\mathbf{x}\)一定是\(BA\mathbf{x} = 0\)的解 B: 若\(\mathbf{x}\)是\(A\mathbf{x} = 0\)的解,那么\(\mathbf{x}\)一定是\(AB\mathbf{x} = 0\)的解 C: 以上都不正确
- 设\(P=\mathbf{u}\mathbf{u}^T\),其中\(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}\)是一个长度为1的单位向量,那么以下说法不正确的是 A: \(\mathbf{u}^T\)一定是\(P\)的特征向量 B: \(\mathbf{u}\)一定是\(P\)的特征向量 C: 1是\(P\)的一个特征值 D: 0是\(P\)的一个特征值
- 线性方程组\(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)的所有解何时构成一个线性空间? A: \(\mathbf{b}=0\) B: \(\mathbf{b}\neq 0\) C: \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)的所有解的集合任何时候都是一个线性空间