设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是反对称矩阵当且仅当对任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]；２）如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称矩阵，且对任一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] ，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]．

2022-06-29

设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是反对称矩阵当且仅当对任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]；２）如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称矩阵，且对任一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] ，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]．

答案：

证:１） 必要性．因为[tex=3.286x1.286]W6e50QdOyaJhK8EPbQj6Mw==[/tex]，即[tex=7.429x1.286]YTrAyf51AI9aQImWSinRwUWXPj6do1R6tEKwYZHBXeETgxJWvxFaOn0A2JZl4CQy[/tex]所以，[tex=16.429x2.857]cV2sMSjA0EHLvV5GtXylCEeA0gBW2mK7uJHc/t8sVw7zpUbD5XsIAQr3YRFvVYLcpE/08Q2bUtzUol6Qf2ZtCRm/5BUGX3LthEwkMl79c9B1bvDIiCWwolnRnQ8q/vxtFPCol2EZHxvzrV3WhC+RDA==[/tex]由于[tex=4.214x1.286]vMK1DosLLB2mCZFd1ellJ+TKeZoo2PsnINjDerVUxu4=[/tex]，故[tex=12.071x2.857]cV2sMSjA0EHLvV5GtXylCP9EKzRQ9F2NCi5s9TGG7OjJdsfo9KyuxBhGSYx6p6arSW7Cz6xLx3/fH+3RylGsnrSxS8nu9GlMxUzVAZCT/5g=[/tex]充分性．设对任给[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，即      [tex=18.786x1.5]mC/bz4dc+ddITleyXgCJJyex5Hjybjlt3S1ZGJHRpprShQoxIrwWxckOwZr/rvzBeU++fZjJX57Ma0iy7lknL6hXH6LWuxoTjWCohIiLhDE/pHl25mJxedqAFT68YlqjFmwlBLNSmb7qpXvaQFeGHw==[/tex]        [tex=16.714x1.5]9TPp3PBVvkNLCC40ImxghuNvAtUPgCFV1+J8fcZuiTfJI/1EGM8Rbom3a9aA59MaXasLJYSrhfPjIfWBBzToGp8+ElDe8ATQG8XcKRPV2GQPhNm+yftMs5Tis0AfYjT4[/tex]这说明原式是多元零多项式，故有          [tex=14.214x1.286]m1rsLHiDp1zlJ15rk3B6BRS5+6xFdED8+KTGxVf7baRuGToV9u7BQpzvhnHJZ6eJAKzdLq8yAxpKvWB3RT9idQ==[/tex]所以，[tex=3.286x1.286]+4mjAfMHdXcM7vsa4fbsJg==[/tex]２） 由于[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称的，且[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，即   [tex=18.571x1.5]mC/bz4dc+ddITleyXgCJJ+d5OkHm3zK5ArQD/1PiEGMY8pwa7eMGAslqYWCZ5qP5duHvi5HiLrkdAAu9cqVFd5t2Rv5kFDNGa3ESfhDdORBSk8NNdz+CR74Q3yfaJeJu[/tex][tex=21.0x1.5]TYuuergoUngD/1fHhOVgdNZDAMnuc1no0+vmMsE4oEwx5AuBpRnGKa9m2gqWwzlwzshdSFPcbE0tQ6MoKubTXFVEZxFsPzpgO91+YiK6i2CsDQOKwZmI04yTLQl2jCZG[/tex]这说明[tex=2.714x1.143]PGCYGdVDfiHyzxQG8v8k/Q==[/tex] 为多元零多项式，故有[tex=20.643x1.357]m1rsLHiDp1zlJ15rk3B6BRS5+6xFdED8+KTGxVf7baQYDm72TunCa17NOiLBmYuGaTaEqi9ANZSjOF1LzDLsHbK9i5Hev+Ephr1UYioGpEw=[/tex]即有，[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 阶实矩阵, 满足 [tex=3.643x1.214]u9ZFFjrmdLitRdLiKCtqhjog7ZeYbiv+qENyuyHI7/w=[/tex], 求证: [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] 是对称矩阵.
1
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶正交矩阵，证明[tex=3.286x1.214]gOs/eXCB4zyspRW4NZ7Kog==[/tex]也是对称矩阵。
2
证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.
3
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级实对称矩阵（即实数域上的对称矩阵），证明：如果[tex=2.429x1.214]9Dzmlpoqgb8wUTG1Zrz7Jw==[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex].
4
设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级上三角矩阵，那么[tex=2.571x1.143]0fnjW85PDzMA1plt4TcKcg==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]阶顺序主子式相等，[tex=5.857x1.214]I5SGjTr5mzU5Ceq/sb8fsMww7wbMal8t8RY5w2pUkfk=[/tex]。