拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为完全正规空间，如果对于任意[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，分别有[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]+cKqsXrOL8EHzUiohf2HQIyNXEIXsCVQo1bhoeZ3QmE=[/tex]。证明：拓扑空间是完全正规空间当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间。
举一反三
- 若[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]为拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集，且[tex=2.643x1.0]nnfU3ueC7heOntsosOPpjA==[/tex]为开集(闭集)，证明[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]都是开集(闭集)。
- 拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为伪紧致的，如果对于任一连续映射[tex=6.571x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iOYIFpzQxTFHxwm4zQkZZEWoNPZ8j+8FX5pr7UM9yN0N[/tex]都是有界的。证明：度量空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致的当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是伪紧致的。
- 证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。
- 若仿紧空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开子空间都是仿紧致的，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是仿紧致的。
- 设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为距离空间, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中子集,令 [tex=10.643x1.357]5cM/LvJqoCikO7A5c+WCIGNRUqezDJxu3zpxuE11UPKaIvCUSRrZmDCbItUQwXHvm/mb7WPRr4/CaMIdGTZddg==[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]上连续函数.