拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为完全正规空间，如果对于任意[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，分别有[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]+cKqsXrOL8EHzUiohf2HQIyNXEIXsCVQo1bhoeZ3QmE=[/tex]。证明：拓扑空间是完全正规空间当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间。

2022-05-29

拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为完全正规空间，如果对于任意[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，分别有[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]+cKqsXrOL8EHzUiohf2HQIyNXEIXsCVQo1bhoeZ3QmE=[/tex]。证明：拓扑空间是完全正规空间当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间。

答案：

证：设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是完全正规空间，[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的任一子空间，[tex=2.0x1.214]wxtv6q5IjDK76YILgUmeEw==[/tex]为[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]的任意两个不相交的闭集，则[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]为[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]的隔离子集。知[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]也是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离子集，因而存在[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]kWmJuntKLLG4Aoa4Q40iKQsB/wy1LH9aROroWZmr+Ig=[/tex]。所以[tex=5.143x1.214]Gap3W2CCFED1dyK53yOzl+xYe8lBQamrXcVhV8a/yhA=[/tex]分别为[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]中不相交的开邻域。即[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为正规空间。反之，设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间，[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的任意隔离子集，则[tex=12.5x1.357]6CP5euHw34P+8WNWQ5yBUnK1yY9MugZf+aoONDQ3qwN/e9a+t8RLnnbpjhan/1Jz6P4BxcKQYgl6ug7ZQall1g==[/tex]，令[tex=18.071x1.357]22h9zL4eBtNeTJtPU9NAlmOdPx5mKUYk/ErDNYrxahQPKw7rZyxlMHtl+Xh3PHsiM3HINvKg988+99jHddcO4g==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]正规的开子空间。因为[tex=12.929x3.071]ifE9NWj3X6IpRVSt3T5ITjMz6DKUydGs1LLe9180hq2Bpw3b7iTRGMcwiQF3mWD/Lo99TVxjLeXC6H4yP7e+2gO43e03Nl7oo+VRRT2G5CYHghy4VICw8b5gZcWZeHf+[/tex][tex=12.714x1.357]irxAxrWfULuBTD+Pt6tffkBFouUR/2AMpLEHek/gCEXHGSZ3/jlW+HInuYskIiCm[/tex]所以[tex=15.929x1.357]PcAUaKv8reGbyJGlo2hOUWmLSH0JgXXM4E31BqTlV2/7K0+Io8Ezvjb6pTxm7G/uggS2KaFq6si70NWmr1U40fDVe+Rd9eK24ouo/DUepb4=[/tex]所以存在[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]中开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使[tex=13.0x1.357]LdLknhyJr/+pVpF8wtNhwPhGQD/x+daG5QRK7oux1x4lEQT6ATvuOGLAHHMqEYR4oUUwDUxiAXEAfwUkuaFM4aDeX3hA+iedXBLh8iMr0KY=[/tex]，且[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]也是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中的开集。[tex=11.857x1.357]abk3QwSrnT4AValaMIpSPvHcsHCMUL47O9eewWQQfQ+2lFQklWv71A3HrlTCDH8NaBEMUkui4NTpyAZHJtIJX5T2P1ei8dRd62doHxQOlJE=[/tex]所以[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是完全正规空间。

举一反三

内容

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设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为度量空间。证明：[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中收敛序列有唯一的极限。
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设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是内积空间, [tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex] 是它的共轭空间 [tex=0.857x1.214]ySq+LF3JxXjin1YiH7Ep/A==[/tex] 表示 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]上线性泛函 [tex=5.357x1.357]mifa97MVhoWHpOz4fUHvuwWItvuGB1Z7uuKqj45XOFk=[/tex] 若 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]到 [tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex] 的映射 [tex=3.214x1.214]hqXp3JSWKyHlc6Y2FW6IH+ze/Z8/DVQQgT7um70aWrs=[/tex] 是一一到上的映射,则 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是[tex=3.286x1.214]S9kDCuSV263VAS7td8z0og==[/tex] 空间.
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设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.
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证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。
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设群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 在集合 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 上的作用是传递的. 证明: 如果 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的正规子群,则[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] 作用下的每个轨道有同样多的元素.