证明：设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶可导函数，若方程[tex=3.714x1.357]65B6ryUjJi4PhOvbjiu/QQ==[/tex]有[tex=2.357x1.143]dkoxwOpyXKTw0HsOj3nnBg==[/tex]个相异的实根，则方程[tex=4.286x1.571]3THDkxXoH5jNbppVJeKXnZjj/TneSDa/d0wrlQKn4VY=[/tex]至少有一个实根。

2022-07-01

证明：设[tex=0.5x1.214]0K9Xf7VHWdVeOrSYAKIm6Q==[/tex]为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶可导函数，若方程[tex=3.714x1.357]65B6ryUjJi4PhOvbjiu/QQ==[/tex]有[tex=2.357x1.143]dkoxwOpyXKTw0HsOj3nnBg==[/tex]个相异的实根，则方程[tex=4.286x1.571]3THDkxXoH5jNbppVJeKXnZjj/TneSDa/d0wrlQKn4VY=[/tex]至少有一个实根。

答案：

证：设[tex=3.714x1.357]65B6ryUjJi4PhOvbjiu/QQ==[/tex]有[tex=2.357x1.143]dkoxwOpyXKTw0HsOj3nnBg==[/tex]个相异的实根为：[tex=10.429x1.071]EFAD8lvSPw8+lg2PmwDS1cLLgJODadGAdBAplFau0iEZiWXiB8jMrU2+LVtmTjmE[/tex]，则由罗尔中值定理知：存在[tex=7.429x1.357]wp3qCJWM1DhKEjb3xiULqqZkCepZkD8xjvp/4bC5UhrgLhQ3r5u4VdmAsttsHDhF[/tex]：[tex=17.857x1.214]jq2AVdGo6LqDZoU6AG1Ui5O+Ih+RoAy1wpXwXYfzSPsopnc2VP90xXfNMZ8Vmyzdr7F8xgG3lZ4ZKG+fSIOjzpKesjlu2ooempE3tSN7z/M=[/tex]，使得[tex=11.143x1.429]ELLTMA24GtOYWMzJhf50KfuH7sZawrxlz/Y23Sw4B6oM/bw6j5fLu3A1Ci4ARDlv2QaEM/PYKx2r9qYb91eQZA==[/tex].再由罗尔中值定理至少存在[tex=8.714x1.357]DcgqQZAxwQISxIgy3lXLwAcvpQTXFGOCu7kJyg8qAGJ2j+ckh+Nwkoa0aLlXbCaO[/tex]：[tex=19.643x1.214]9kCc0Y6KyxTSQG96pvYC4GGQLk4Bg8IpQCiorrPGx0VQGse1ok8g4KZCn1GYurnzJOTZxencTV1ripXO2fax40XNkIIoKnaQ2VEcj2vAMZo=[/tex]，使得[tex=12.571x1.429]o1NxfHFvh4pfuP8b7Vf/BBJ68LR/Fjb/+t99H/vDGl+J+sxgESVjtH199cRvGdtk6UAfR2oLDowDxO4V2WZKr+7qknirmu43now36lER8uE=[/tex]如此作到第[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]步，则知至少存在一点[tex=0.5x1.214]cXT0lwxXaA5/A8r4U+6hNw==[/tex]：[tex=7.357x1.214]eJZ3u/i75elYu29VAcUr9sXlJ9MGEhq+DJHRPV5g3Dk=[/tex]，使得[tex=4.143x1.571]QihePvoYKlSBxfMRk2+EhSBmoS+HUZno3JOGLknMU/A=[/tex].

举一反三

内容

0
设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明至少存在一点[tex=3.643x1.357]lTsOOhJ85nTn3mrT2Mx0lw==[/tex]使[tex=6.286x1.429]JZ8spbP5y8lrG0FgeChLIS7LPAFOZNl0MwLjGUb1ZoE=[/tex]
1
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [0,1]上具有2阶导数，且[tex=3.643x1.286]33dm3ityTTemCRc5ZsxYkQ==[/tex],[tex=6.571x2.071]9i81kkdiF6aVLw4Z6boxnO7AgoAJz706lR8BAxhRfN53UFSbREToGNjosBflfRksjuR47v1Wf5g1CtgCe2NVNw==[/tex] ，证明：（1）方程[tex=3.714x1.286]0ZoDYEiHpPjb6Gw3Oeomrg==[/tex] 在区间 (0,1)至少存在一个实根；（2）方程 [tex=11.5x1.929]0doxqw2d0aQzw6OeeZxb/bs8P31eHb+5ooXhPxTaxtRxhKSFUcc70MME3syAEJimy7s/+WkFCqXnLOUT77uBwceLCnBUJn/gEZZDrXHET0ToWDYMUpvWn71bViLDAhFgkVtuerPetZ7T48N20ZmPiQ==[/tex]在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
2
设[tex=2.0x1.214]IENxQEh5u4RdnCaqHm72Xg==[/tex]均为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶方阵，[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶单位阵，证明：若[tex=4.643x1.143]y+ElwUeCSdEkIPEcPLq9sg==[/tex]，则[tex=2.286x1.143]hDwbx8oDu+irvDmY8tXjKg==[/tex]可逆。
3
证明方程[tex=5.929x1.357]8mdTBUIsKpQbYU05fzsrjA==[/tex]当[tex=3.929x1.071]BTCIqXvL+UeMG+M4qvh2dEMzQ0vRowuzEjIUcHvPgpM=[/tex]时有两个实根；当[tex=5.786x1.071]qYSOIl2YNhki7w6e90afIo2XTSzTHwHIwFSNgrr21jM=[/tex]时没有实根；当b<0时有唯一实根。
4
若 [tex=14.143x1.357]fT4e9EekZ8xwKPJ1h2CXvI8pbzkU99RyTduXRMCBQPKAxXcYFOWKjYHD924tWqYtR1Vyf8uhoZNmcup4ljbVdQ==[/tex], 且[p=align:center][tex=8.071x3.286]hp6HB/EAr1mK1bQ7SwF2s8xtHo7+VRQ15MCxjm5ffryI1bcFhWD8lzKIfGXHcS7ONdLPe5pMpaFrJhkBHDNCtYi2u6CXaGOBIMc6VgfseoM=[/tex]则方程 [tex=3.0x1.357]uLIQv61hJggtdVKfEpjs8w==[/tex] 在圆 [tex=2.857x1.357]9Mp6NtTOllagZJ7zLzgTJQ==[/tex] 内有 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个根; 若 [tex=2.857x1.357]JG9AK9JW9z9g5EoNLndMUA==[/tex], 则方程 [tex=3.0x1.357]uLIQv61hJggtdVKfEpjs8w==[/tex] 在圆 [tex=2.857x1.357]775e4ifRSs1IcO1KxBxfaw==[/tex] 内恰有 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 个根。