设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是列紧空间。积空间[tex=2.857x1.143]o+gQvBuSt0uGsrjoYIWUug==[/tex]一定是列紧空间吗？给出你的结论并证明或举出反例。

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2022-10-26

设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是列紧空间。积空间[tex=2.857x1.143]o+gQvBuSt0uGsrjoYIWUug==[/tex]一定是列紧空间吗？给出你的结论并证明或举出反例。

答案：

例：设[tex=0.929x1.0]BJnVZJXU1GlDcXoaLtkrDw==[/tex]是自然数集，并在[tex=0.929x1.0]BJnVZJXU1GlDcXoaLtkrDw==[/tex]上取离散拓扑。[tex=1.5x1.214]lAzB3LkL+ybVSJBSLsRUijLQcnh3ZIQHVFUVJ0lnuQk=[/tex]是[tex=0.929x1.0]BJnVZJXU1GlDcXoaLtkrDw==[/tex]的 Stone - Cech 紧化。Novak 证明了存在[tex=1.5x1.214]lAzB3LkL+ybVSJBSLsRUijLQcnh3ZIQHVFUVJ0lnuQk=[/tex]的可数紧子集[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]与[tex=0.857x1.0]8R0gNFOiWLE7jtLTMNrZAg==[/tex]，使[tex=9.357x1.214]Sw88YaRn1GKOeB1Hor1oLKMRPZ2xy8EnZQuO6no8CcxY12uvoBREOLCtkHEB9XsXRJZD5dsvzCUZqTMlxu1gfQ==[/tex]，作乘积空间[tex=4.429x1.143]gBZ2zKbM6AfSNSkKqlhxkA==[/tex]。则[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的闭子集，且具有离散拓扑。因此，[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]不是可数紧的。注：由于可数紧必列紧。这个例子也说明了两个列紧空间的积空间未必是列紧的。

举一反三

内容

0
令[tex=4.071x1.214]DaoI4syGJkcEzXKIf1y1z+uK7N569Lk1j+3a0Z0WPb8m+/JkZsBmsuKzqaBCyXFk[/tex]为以[tex=10.643x1.357]Wjf5Gq3FufUFome735HGTSqJbTuVGm/erk08yEnieys7TlM4L0kHgkgrjVUB5frLFVlqR3mU4YxhrW/kBhOPOQ==[/tex]为基的[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的拓扑。证明[tex=2.857x1.357]Ig/6B5YCU59XfmLw5qBTgqJ9dwknLkRlo9GiCHHIPBw=[/tex]是列紧空间但不是可数紧致，紧致，序列紧致空间。
1
设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMuOahKiPzLRrtzSIbjGFDt4=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是一个可分空间。则[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]也是可分的。(这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不变性质，可商性质。)
2
设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为度量空间。证明：[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中收敛序列有唯一的极限。
3
设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.
4
证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。